Физика полностью ионизованного газа - Спитцер Л.
Скачать (прямая ссылка):
= (4.5)
Как мы увидим ниже, в состоянии равновесия полное давление по нормали к поверхности раздела равно р + B218я. С увеличением давление по обе стороны поверхности раздела изменяется неодинаково, поскольку \п(р +В2/8я) имеет различное значение на каждой из сторон; здесь мы обозначили символом Vrt
Равновесие и устойчивость
137
нормальную к поверхности раздела 5 составляющую градиента. Очевидно, что —F(In) является произведением |п на разность градиентов при пересечении поверхности в направлении увеличения |п. Отсюда
где (X) означает изменение величины X при пересечении поверхности, равное разности Х(|„)—Х(—?„) при |„, стремящемся к нулю.
Кроме того, потенциальная энергия изменяется на величину 6WP из-за деформаций внутри плазмы. В целях упрощения задачи предположим, что плазма несжимаема. Действительно, в рассматриваемых ниже простых задачах, связанных с вычислением бWp, минимальным значениям бW соответствуют такие |, для которых Vg обращается в нуль. Даже в более общих случаях это ограничение не сильно сказывается на критерии устойчивости. Вычисление б Wp подобно приведенному выше для бИ^а. но более громоздко; в результате получаем [2]
где dV — элемент объема. Величина 6В, получаемая исключением E из уравнений (2.18) и (2.36) и последующим интегрированием по dt, равна
Кроме 6^5 и bWp, нужно найти также величину 6WV, представляющую собой изменение магнитной энергии в области вакуума. И 6В в вакууме, и |ХВ на поверхности раздела между плазмой и вакуумом определяются лишь уравнениями Максвелла. Однако в рассматриваемых далее задачах нам нигде не понадобится выражение для этой вакуумной добавки.
Ws = ife,(V,(p+?))<ls, (4.6)
^J(SBXS)-
-e-V<p)(g.Vp)}rf^ (4.7)
8В =VX(SXB).
(4.8)
138
Глава 4
§ 2. Плоская система
Рассмотрим сначала случай, в котором все величины зависят только от х. Преимущество такой идеализации заключается в том, что при ее исследовании, требующем относительно простого математического аппарата, отчетливо выявляются природа и роль диамагнетизма плазмы, бессилового поля и перестановочной, или желобковой, неустойчивости.
а. Равновесие. Если исключить тривиальный случай однородного поля В, компонента Bx должна равняться нулю. Это следует из уравнения (4.1), в котором Вх(дВу/дх) и Вх(дВ2/дх) должны равняться нулю, так как векторы Vp и VB2 не имеют у- и г-составляющих. Следовательно, член (В* V)B в уравнении (4.1) равен нулю. Поэтому, интегрируя по dx, получаем
р+-Ц = Const. (4.9)
В такой простой геометрии В2/8я можно рассматривать как магнитное давление, причем сумма газового и магнитного давлений постоянна. Таким образом, удерживаемая плазма является диамагнитной; магнитное давление в плазме меньше, чем в окружающем вакууме. Очевидно, что р и В могут быть произвольными функциями х, удовлетворяющими уравнению (4.9).
Более того, направление В в плоскости уг также может быть произвольной функцией х, что совершенно не влияет на уравнение (4.9). В частности, если величина магнитного поля В не зависит от х, то на плазму магнитные силы не действуют даже в том случае, когда отношение BvIBz изменяется произвольным образом. Такое поле есть пример так называемого бессилового поля. Поскольку поле в вакууме также является бессиловым, мы сохраним это название за ролями, в которых отличный от нуля ток j удовлет-
Равновесие и устойчивость
139
воряет соотношению
j = V X в=а (г) в, (4.10)
где а (г)—некоторая функция координат. Так как V-J = O1 то функция а(г) должна быть постоянной вдоль силовой линии. Если ток параллелен силовым линиям магнитного поля в соответствии с (4.10), то пондеромоторная сила j X В, очевидно, равна нулю. В плоском случае, где все величины зависят только от х, самым общим видом бессилового поля является такое поле, в котором составляющая Bx равна нулю, В постоянно, а отношение ByIBz — произвольная функция х (кроме того, может быть вакуумное поле B = const). Полагая Bv и Bz равными BsinO и BcosO соответственно, из уравнения (4.10) получаем
? = .<*). (4.11)
Магнитное поле, направление которого в плоскости уг изменяется непрерывно с изменением х, иногда называется полем с магнитным скосом или скошенным полем (shear field) ’).
Выясним теперь, какое электрическое поле существует в нашей плоской системе. Предположим, что скорость V равна нулю. Тогда уравнение (2.21) связывает непосредственно E с давлением р<. Если выразить поле E через потенциал Ut а заменить на nikT, считая T постоянной величиной, то, интегрируя по х, получаем
In H-Jf-^=const- (4.12)
Следовательно, при v, равном нулю, электрический потенциал должен быть таким, чтобы плотность положительных ионов подчинялась закону Больцмана.
!) Среди русских эквивалентов слова shear мы выбрали скос, так как такой термин, по нашему мнению, лучше отражает факт поворота направления, чем, например, часто встречающийся при переводах термин сдвиг, — Прим. ред.
140
Глава 4
Очевидно, что в этом случае пондеромоторная сила, обусловленная градиентом В, действует только на электроны, которые фактически создают весь ток.
