Физика полностью ионизованного газа - Спитцер Л.
Скачать (прямая ссылка):
Равновесие и устойчивость
143
отрицательна, когда при наличии силы тяжести более плотная плазма опирается на менее плотную, а магнитное поле В всюду имеет одно и то же направление; поэтому такое равновесие неустойчиво. Тот же вывод можно сделать и в том случае, если менее плотная плазма подталкивает более плотную плазму и вызывает ее ускорение.
Неустойчивые возмущения гофрируют поверхность раздела, вызывая появление желобков, параллельных силовым линиям. Поэтому неустойчивость поверхности раздела при таких коротковолновых возмущениях часто называют желобковой неустойчивостью. Так как такие возмущения приводят к перестановке местами силовых линий без их искривления, эта неустойчивость носит также название перестановочной неустойчивости.
Скорость нарастания возмущения можно получить из уравнения (4.4). Самым простым видом возмущения которое не меняет магнитную энергию и стремится к нулю при удалении от поверхности раздела, является следующий:
lx = Ae±%x sinxy,
Sy = ± Ae*хх cos ху, (4.16)
6, = 0,
причем знак минус берется для области выше поверхности раздела, а знак плюс — для области, расположенной ниже поверхности раздела. Для этого возмущения получаем
= _ лМ.
2Р
(4.17)
где р — среднее значение, а (р) — скачок величины р на поверхности раздела. Так как возмущение определяемое соотношением (4.16), есть нормальное (собственное) колебание, то выражение (4.17) являет-* ся обычной формулой для неустойчивости Рэлея — Тейлора. Возмущения с самой короткой длиной волны, очевидно, нарастают наиболее быстро.
144
Глава 4
Если при переходе через поверхность раздела или в прилегающем объеме направление В меняется из-за электрических токов, текущих вдоль силовых линий, то полученные результаты оказываются несправедливыми. В этом случае невозможна перестановка силовых линий между верхним и нижним слоями; любое возмущение, которое меняет местами элементы жидкости при разных значениях х, должно изгибать силовые линии и увеличивать магнитную энергию. Величину этого эффекта легко рассчитать, полагая, что выше поверхности раздела магнитное поле В направлено под углом 0 к оси г, а ниже поверхности раздела— под углом —0. Если I дается формулой (4.16), то величину приращения магнитной энергии можно получить путем подстановки равенства (4.8) в соотношение (4.7). Легко показать, что отношение приращений энергии бWp к 6WS равно кВ2sin20/(—2я?(р)). Поэтому величина бW для малых длин волн (больших к) положительна, а при достаточно больших длинах волн, как и прежде, появляется неустойчивость. Неустойчивость здесь обусловлена тем, что длинноволновые возмущения сравнительно слабо деформируют силовые линии. Стабилизация же коротковолно* вых возмущений — достаточно общее свойство скошенных полей.
в. Устойчивость, анизотропное давление. Когда р_|_ и Pu различны, даже однородная среда может быть неустойчивой. Поскольку неустойчивые возмущения создают градиенты вдоль В, макроскопические уравнения непосредственно неприменимы и при соответствующем исследовании нужно рассматривать функцию распределения по скоростям. В частности, при развитии неустойчивости могут возникнуть магнитные зеркала, а существующие магнитные зеркала — усилиться. Наличие захваченных частиц в этих зеркалах макроскопические уравнения не могут учитывать, так как они основаны на упрощающих предположения* ртносительно тензора давлення.
Равновесие и устойчивость
145
Несмотря на это, применение макроскопических уравнений в таких задачах все же вносит иногда некоторую ясность. Поэтому мы рассмотрим здесь один случай, где макроскопические уравнения дают верный результат, — неустойчивость первоначально однородной плазмы, в которой р\\ превосходит Pjl на величину, большую В2/4я. Если Вирв состоянии равновесия однородны, то в отсутствие гравитационного потенциала из формулы (4.2) следует, что изменение потенциальной энергии дается выражением вида
W = і J (ьву dz + і J Ъръ dx-i- f Zp1 dX. (4.18)
Член j(6BX|), имевшийся в формуле (4.7), здесь равен нулю, так как ток j в состоянии равновесия отсутствует.
Предположим, что В параллельно оси г, и рассмотрим возмущение, в котором I параллельно оси*. Очевидно, V • I обращается в нуль, когда dlJdx равно нулю. Если считать |ж функцией г, не зависящей ни от х, ни от у, то получим возмущение, имеющее вид альфвеновской волны. Физически очевидно и легко проверить, исходя из уравнения (4.8), что 65,,=6^*= = 0, так что следует принимать во внимание лишь бBx. Поскольку мы рассматриваем движение несжимаемой жидкости, брц и 8р± можно заменить соответственно nkbT\\ и nk8T±, где T\\ и T1 определяются выражениями (1.32) и (1.35). Величину бBnIBn, входящую в выражения для (67'0/7'ц и (87j_)/7j_ можно найти с помощью простого соотношения
“gjr= {?2+ (SS,)2 (4.19)
так как первоначально магнитное поле В было направлено по оси z. С учетом (4.19) уравнение (4.18) приводится к виду
145
Глава 4
Очевидно, возмущение неустойчиво, если
р,-р±>§- <4'21>
Эту неустойчивость, впервые найденную Паркером [13], иногда называют шланговой неустойчивостью (firehose instability). Если рц значительно превосходит как р±, так и B2IAn, то изгиб силовых линий, увеличивающий ИХ длину, приводит K тому, ЧТО Pu уменьшается в большей степени, чем увеличивается магнитная энергия или поперечная кинетическая энергия. Говоря иначе, при большом рц центробежная сила, возникающая при искривлении линий, еще больше выпячивает эти линии.
