Физика полностью ионизованного газа - Спитцер Л.
Скачать (прямая ссылка):
В системе отсчета, движущейся со скоростью продольной волны Vi электрический потенциал не будет зависеть от времени; полагая временно о = 0, можно написать
(J=U0 cos хх. (3.48)
Частица, имеющая в этой системе отсчета скорость и в направлении оси х и координату х, захватывается в потенциальную яму, если выполняется неравенство
1 п і ZbUq ^ I ZbUq а
^mu2-]-----^cosхл: <|—Ta • (3.49)
Когда такая захваченная частица отражается от потенциального барьера, ее энергия в системе отсчета, связанной с волной, не изменяется, но в лабораторной системе отсчета кинетическая энергия частицы
118
Глава З
изменяется при этом на величину 2тVu. Если сравнить в лабораторной системе отсчета начальную энергию со средней энергией за большой промежуток времени, в течение которого частица испытывает многократные отражения вперед и назад по отношению к волне, то избыток энергии, отдаваемый захваченной частицей, будет равен mVu. Эта энергия будет отдана волне всеми частицами, скорость и и координата х которых удовлетворяют неравенству (3.49). Если обозначить через ит среднеквадратичную величину максимального значения U1 при котором захват еще возможен, то, заменяя знак неравенства на знак равенства и усредняя по всем значениям X1 получаем
<=I i^rH- (!Ш)
Частицы, для которых и которые находятся
у «дна» потенциальной ямы, будут совершать простые гармонические колебания в таких ямах. Частоту колебаний захваченных частиц, которую мы обозначим через о*, нетрудно найти с помощью формулы (3.48) в предположении малости кх. Мы получим
1ZF- Г- (3-51)
Промежуток времени, который требуется, чтобы частицы соответствующих энергий оказались захваченными, равен по порядку величины І/cof. Очевидно, что при условии 0/(о< <1 (а — коэффициент затухания амплитуды U0) потенциал U0 будет оставаться почти постоянным в течение времени затухания, и захват частиц действительно произойдет. Однако если отношение а/т велико, то затухание U0 за время І/to* будет большим и амплитуда волны уменьшится настолько быстро, что фактически захвата частиц не произойдет.
Эти заключения имеют прямое отношение к явлению затухания Ландау. Рассмотрим сначала случай, когда величина а/т мала и захват частиц возможен.
Волны в плазме
119
В этом случае переход энергии от волны к частицам малых скоростей и должен прекратиться, когда 01/(0«. Как только захват частиц произойдет, волна не сможет больше ускорять частицы и будет распространяться, сохраняя величину своей амплитуды.
Величину затухания Ландау можно приближенно вычислить, исходя из того условия, что энергия, теряемая волной за время захвата, равна энергии, приобретаемой захваченными частицами. Следуя Джексону [25], мы можем вычислить полную энергию W, приобретаемую захваченными частицами, следующим образом:
где по-прежнему U = W—V, a mVu — энергия, приобретаемая каждой частицей в результате ее захвата. Здесь мы считаем, что функция /<°>(до) нормирована на единицу в пространстве скоростей. Усредняя результаты по координатному пространству, можно заменить U3m средней величиной, определяемой уравнением (3.50). Время передачи энергии W от волны к частицам равно приблизительно l/cot, и, следовательно, величина средней передаваемой мощности за этот промежуток времени есть WW Если разделить эту мощность на х*?^/8яс2, т. е. на плотность потенциальной и'кинетической энергии волны, то частное будет равно 2а, где а — коэффициент затухания амплитуды. В случае, когда электроны в плазме взаимодействуют с электронной волной, Z=— I, V=Юр/х, и мы получаем
т
я/(0) (w) dw • mVu = — nmVum • у
(3.52)
(3.53)
где дебаевский радиус h и плазменная частота top определяются формулами (2.3) и (3.8) соответственно. На основании приближенного рассмотрения,
120
Глава З
проведенного выше, константа b численно равна 4/зУ*; Ландау [27] получил выражение (3.53), в котором b — У(іс/8). Таким образом, когда величина <x/(0t мала, энергия, теряемая волной из-за затухания Ландау в течение времени, равного 1/т, сообщается главным образом захваченным частицам; по истечении времени 1/о)( затухание Ландау в бесстолкновитель-ном газе прекращается.
В противоположном случае больших значений сг/со* захватывание частиц незначительно. Формула (3.53) остается справедливой, но коэффициент затухания в этом случае не зависит от времени. Как видно из выражения (3.51), отношение «т/со* будет большим для волн достаточно малой амплитуды.
Следует отметить, что эти результаты могут измениться, если в момент, когда волна начинает распространяться, будут другие начальные условия. В частности, если предположить, что f(V+u)=f(V—и) для достаточно большого интервала значений и, то затухания Ландау не будет даже для волн бесконечно малой амплитуды, и в отсутствие столкновений становится возможным распространение стационарной волны любой амплитуды (8].
Надо отметить, что все эти результаты справедливы, если выполняется условие
W=-^ci. <3-54)
Когда это условие нарушается, то фазовая скррость оказывается меньше или порядка тепловой скорости частиц, затухание становится сильным, и сделанные выше предположения перестают быть справедливыми. Длина волны в этом случае будет меньше или порядка дебаевского радиуса, и формулы для затухания,
