Физика полностью ионизованного газа - Спитцер Л.
Скачать (прямая ссылка):
60
Глава 2
стенок частиц должен точно компенсировать общее число частиц, пересекающих плоскость в результате дрейфа в неоднородном магнитном поле.
Если столкновения существенны, то это доказательство можно видоизменить. Рассмотрим сначала систему без столкновений, но с распределением скоростей, которое всюду является изотропным и максвелловским с постоянной температурой в рассматриваемой области. Согласно вышеизложенному, такое распределение будет самоподдерживающимся, и макроскопические скорости и токи не возникнут. Учет столкновений, разумеется, не нарушит распределения скоростей. И мы приходим к заключению, сформулированному Каулингом [4]: при термодинамическом равновесии в замкнутой системе плотность тока j должна равняться нулю.
§ 4. Электрические токи
В определенных случаях отношение j к E нередко называют проводимостью. Если закон Ома выполняется, то это отношение действительно является обычной проводимостью, ИЛИ 1/г]. Однако в других случаях j и E могут не быть параллельными, и отношения их компонент в различных направлениях зависят от конкретного вида решения основных уравнений. В самом деле, отношение jx/Ex может принимать любые значения от нуля до бесконечности в зависимости от «предыстории» плазмы. В связи с некоторой неясностью, существовавшей в прошлом в этом вопросе, имеет смысл несколько подробнее рассмотреть, как изменяется в различных условиях величина j.
Существуют условия, при которых закон Ома в обычной форме всегда выполняется для плазмы. Так, например, если плазма находится в стационарном состоянии и скорость V и гравитационная сила повсюду равны нулю, то уравнение (2.21) дает
(2.24)
Макроскопические свойства плазмы 61
Согласно уравнению (2.20), в присутствии магнитного поля плотность тока j не может иметь компоненты, параллельной V/>. Если при этом Vpt- и Vpe всюду параллельны друг другу, то j не имеет компоненты в направлении Vpt-, и в соответствии с уравнением (2.24) величина rjj должна равняться компоненте поля Е, параллельной току. Таким образом, в известном смысле выполняется закон Ома в обычной форме. Оставшаяся компонента E уравновешивает градиент pi, в результате чего скорость в уравнении (2.23) обращается в нуль. Как показал Шлютер [10], плазма в магнитном поле проявляет заметное стремление к равновесному состоянию, при котором справедливо уравнение (2.24).
Умножив уравнение (2.24) скалярно на j, мы получим в рассматриваемом идеализованном случае
Tjy2 = J-E. (2.25)
Очевидно, что j • E есть работа, совершаемая электрическим полем над током в единице объема в единицу времени, в то время как r\j2 представляет собой тепло, выделяемое в газе под действием тока. Чтобы состояние оставалось стационарным, джоулево тепло должно, конечно, сразу переходить в излучение.
В других случаях rjj и E могут быть слабо связаны друг с другом, хотя количество тепла, выделяемое при омическом нагреве, всегда равно r\j2. Чтобы рассмотреть простейший возможный случай, выявляющий характерные черты изучаемого вопроса, допустим, что электрическое поле Е, перпендикулярное к магнитному полю, прикладывается внезапно, увеличиваясь от нуля до постоянного значения, причем в момент включения поля (^=0) равны нулю v и j. Мы рассмотрим бесконечную среду без гравитационного поля, предполагая, что давление везде постоянно. Будем пренебрегать всеми электрическими и магнитными полями, наведенными изменениями тока, хотя в действительности они могут препятство-
62
Глава 2
вать проникновению электрического поля в плазму (скин-эффект). Исключим из уравнения (2.12) скорость V с помощью (2.11), выразив попутно г) через частоту столкновений v по формуле (5.32). Предполагая, что j • B=O, и пренебрегая членами порядка JneImi по сравнению с единицей, после некоторых преобразований находим
где (Осе и (0с< — циклотронные частоты электронов и ионов соответственно. Исследуем решение уравнения (2.26) в некоторых частных случаях.
а. B = O, т. е. (Oci = O)ce=O. В этом случае имеем простое решение
Очевидно, что j достигает своего предельного значения очень быстро, за время нескольких столкновений.
б. o>ci ^0, (Oce ?= 0. Поскольку нас интересует главным образом величина установившегося тока, положим d\/dt—Q. Если ось г направить вдоль В, а ось у—вдоль Е, то решением уравнения (2.26) теперь будет
Если сохранить член dj/dt, то мы найдем, что /у и /* будут колебаться около своих предельных значений с угловой частотой (о«., причем за время нескольких столкновений эти колебания затухнут. Таким образом, соотношения (2.28) и (2.29) справедливы для моментов времени, больших по сравнению с 1/v.
*L — dt ~
Jj dt- <0се-Vj, (2-26)
0
j = -| (1-е-*).
(2.27)
(2.28)
-Ey u>ceh
(2.29)
1I 1+ (<¦>«/*)* *
Макроскопические свойства плазмы
63
Когда (Oce значительно превышает v, то ток, параллельный приложенному электрическому ПОЛЮ, сильно уменьшается и линейно зависит от частоты столкновений (так как сопротивление г\ пропорционально v). Этот результат нетрудно понять, рассматривая дрейфовое движение отдельных заряженных частиц. Пусть электрическое поле Eyy приложенное к группе электронов, перпендикулярно к магнитному полю, направленному по оси г. Двигаясь сначала параллельно оси уу электроны после смещения на dy в этом направлении начнут дрейфовать со скоростью EyIBz в направлении оси х. После того как электроны испытают столкновения с неподвижными положительными ионами и потеряют свой импульс в направлении ОСИ Xy они претерпят новое смещение в среднем на dyy прежде чем снова начнут дрейфовать параллельно оси х. Чем чаще столкновения, тем чаще смещения в направлении оси у и тем больше соответствующий ток. Ток в направлении оси ху называемый ХОЛЛОВСКИМ ТОКОМ, НЄ ЗаВИСИТ ОТ V, ЄСЛИ С0с<?^>>,
