Небесная механика - Смарт У.М.
Скачать (прямая ссылка):
§ 18.33. Возмущения, зависящие от ш
425
В качестве примера мы выведем формулу для 2, когда в F и Z7, отброшены
члены с ш2 и более высокими степенями ш. Согласно формуле (12),
/='=i+/?lc2+/?_,r24- ••• -&2c2*(So+s,c2+s_,r2)... •
Легко видеть, что в этом разложении единственным коэффициентом порядка ш
является S_,. Главная часть S_, равна (1/Л,>0)<?_ь Из формул (6) и (7) мы
с точностью до малых порядка ш2 находим
О ___ З + Ш-^Л -----
НР5Г+8 "1-/ -1’
или, так как С_х — — 3/8ш, то 5_, = — 3/8т/. Поэтому
/7 = 1+|ш/й2С2*-2. (14)
Выражение для Z7, совпадет с (14), если Си Ь заменить на С] и bv Мы
поэтому получим аналогично равенству (13)
2-8 + P- (l+m-gn=§m/.-i- [Л2*-2 - С?**2] =
= J ш/ sin [(2g — 2) 5+2^].
Следовательно, движение узла выразится формулой 2 = _a/t+3(g_1)_m^_,
3+^|С08[(24Г_2)5_1_2рь (15)
где а определяется равенством (3) или (4) § 18.31. Так как g=l-(-+ m -|-
.... то амплитуда периодического члена имеет порядок ш2. Периодические
члены более высокого порядка могут быть получены при помощи только что
описанного приема.
§ 18.33. Возмущения, зависящие от m
и эксцентриситета орбиты Солнца е.
Мы будем пренебрегать величинами z, a/a, и эксцентриситетом лунной орбиты
е. Согласно формуле (1) § 18.03,
'г’=',Итг),'>!(а>'
и поэтому функция 2, определяемая равенством (5) § 18.03, будет
выражаться формулой
2 = пу (4-)3 Р2 (а) - j а2 (2л:2 - у2 -
426
Глава IS. Теория Луны Хилла — Брауна
[2Q *1
= определяемая формулой (10) § 18.04,
будет иметь вид
W = 2m2r2 (-^-)3 Р2 (а) — т2 (Зл:2 — г2).
Так как г2Р2(а) = 3/2г2С2—*/2 г2, где С = cos а, то согласно формуле (2)
§ 18.03
гС=**1±Ж.
Г\
Пусть г»! означает истинную долготу Солнца. Тогда jf1 = r1c°s(p, y, =
r,sin<p.
где
<р = vl — ni(t — t0) = fl — Ml. (1)
Поэтому
гС =? у (и -f- s) cos <р + -^г (и — s) sin <Р = у se1*).
Следовательно, если заменить г2 на us, то W примет вид
W = Аи2 + 2Bus + Cs2, (2)
где
А==тт2ШУе~ич-1]> <3>
<4>
С = 7П,2[(7Г)3^~1]- (5)
Так как z = 0 п W — однородная квадратичная функция и и s. то уравнения
(14) и (17) § 18.04 принимают вид
D (uDs — sDu — 2m us) + m2 (и2 — s2) = s — и -, (6)
D2(us)— Du • Ds + 2m (sDh — uDs)-\-+ i m2 (« + s)2 = К - 31F + D"1 (DtW),
(7)
где Dt означает операцию D, соответствующую дифференцированию
по времени t, входящему посредством координат Солнца, и где
вместо С записана К (постоянная интегрирования).
Члены в правой части уравнения (6) таковы:
2Cs2 — 2 Ли2, (8)
§ 18.34. Функции А, В и С
427
а члены в правой части уравнения (7) имеют вид
—3 (Ли2 + 2 Bus + Cs2) + D-1 (и2 D Л + 2as Dfl + s2 DC), (9)
причем постоянная /С опущена, так как мы уже ввели постоянную в случае
промежуточной орбиты при ИР = 0.
§ 18.34. Функции Л, В и С
Определение <р по формуле (1) § 18.33 показывает, что <р является
уравнением центра, так что <p = /i—Мх, где fl и М1 — соответственно
истинная и средняя аномалии Солнца. Таким образом, функции координат
Солнца, входящие в А, В и С, могут быть выражены через Mv
1) В. В случае эллиптического движения мы можем написать общую формулу
ОО
где а_р = ар. Поэтому для орбиты Солнца мы имеем
5==Тт22 aPelpMt' W
где коэффициенты ар, вообще говоря, являются рядами по степеням е1 и
имеют порядок е\р], и их явные выражения могут быть получены обычным
способом.
2) Л и С. Из формул (3) и (4) § 18.33, опуская временно индекс 1, мы
имеем
^ “Ь Л = -g- т2 [(•р )Э cos 2<р — 1J, (2)
С—Л = -|/т2 [(-^)3sin 2<pJ. (3)
Далее, <р (= / — М) может быть представлено тригонометрическим рядом с
аргументами, кратными М. Известно, что функция в квадратных скобках
формулы (2) может быть разложена в ряд вида
j3 cos 2<р — 1 = cos рМ, (4)
где коэффициенты Рр(—оо < /> < оо) выражаются через Кроме того,
^j3sln2<p=yjp;)sin/>Al. (5)
428
Глава IB. Теория Луны Хилла—Брауна
так как, согласно формулам (2) — (5), поскольку А и С—сопряженные
величины,
с-|т«2р^. (в)
а=•§т2 2 he~lpMt=тт2 S $-PeipMt • w
Здесь индекс 1 снова восстановлен.
Далее, Mx = nl{t — /ц) — a>t, где й,—долгота перигея солнечной орбиты.
Кроме того, так как 5 = (я — д,)(/ — /0) и л, = т(д — пх), то
Л1, = т$ — 5j.
Обозначим е~1^' через Lp. Тогда elpM' = LJ,m, и из формул (6), (7) и (1)
будем иметь
л =4 ш*2р.л^*
в = \ (8)
с=| рл^.
Поскольку в этих формулах С'"" везде сопровождается множителем Lp, то в
последующем изложении мы можем этот множитель опустить, введя его снова
после того, как будет сделан переход к действительным переменным х и у.
§ 18.35. Неравенства, зависящие от m и ех
Решение уравнений (6) и (7) § 18.33 имеют вид
« = а 22Л./1+1+/’т.
I Р
з=а22лЛрС-(2<+1+/,т). 0)
* р
Если эти выражения для и и s подставить в уравнения (6) и (7) § 18.33 и
приравнять друг другу коэффициенты в левых и правых частях при ?2<+1+р”,
то мы получим линейные уравнения для Л, которые могут быть решены методом
последовательных приближений.
Заметим, что если р = 0, то мы получим решение, соответствующее
промежуточной орбите, с которой, согласно уравнению (7) § 18.33, связана
