Небесная механика - Смарт У.М.
Скачать (прямая ссылка):
поэтому, исключив величины Ь, мы получим Д(—с) = 0, так как знаменатели
элементов определителя остаются неизменными. Корни уравнения Д(с) = 0,
таким образом, составляют пары чисел, отличающихся только знаком, и
поэтому уравнение можно рассматривать как уравнение относительно с2.
2) Если с0 — корень уравнения, то величины с0 ± 2г, где г — положительное
целое число, также будут корнями этого уравнения. Напишем в уравнении (4)
§ 18.25 с + 2У в виде [с — 2 + 2(у'+1)]. Тогда мы будем иметь
••• -е1&,_1+{[с-2 + 2(У+1)]2-0о}^-01^+1- ... = 0.
Если разделить эти уравнения на [4(У+ I)2 — 0О] и исключить из них
величины Ь, то найдем, что Д(с — 2) = 0. Точно так же получим Д(с-}-2) =
0. Повторяя этот прием, мы придем к следующему равенству:
Д (с ± 2г) = 0,
так что, если с0 — корень, то величины с0 ± 2г будут также корнями.
3) Корни уравнения Д (с) = 0 являются также корнями следующего уравнения:
cos ice — cos icc0 = 0.
Корни этого уравнения суть с = с0 ± 2г. Поэтому мы должны иметь Д (с) = k
(cos ice — cositc0). (1)
где k не зависит от с.
§ 18.26. Корни уравнения Л(с) = О
415
4) Определитель Д0 (с). Будем обозначать через Д0 (с) определитель Д(с),
когда в нем величины 0Р 02, ... полагаются равными нулю. Тогда Д0(с)
просто является произведением элементов, лежащих на главной диагонали
определителя Д (с). Пусть Тj и T_j означают два диагональных элемента,
соответствующих заданному значению у. Тогда
где Т0 = 1 — (с2/'0о). Для удобства мы положим
в0 = 40*. (2)
после чего получим
,, ,, (с + 2у)* - 40* (с — 2/)* - 40*
1 Г ~1~ 4 (у* — 0*) ‘ 4 (у* — 0*) •
Это равенство, если в нем несколько преобразовать числители и
знаменатели, как легко видеть, примет вид
ТТ — с*-(2У+20)* с*-(-2у + 20)*
4 (У —(- 0)* • 4 (— у + 0)* ‘
Поэтому, так как 7'0=1—(с2^2), то
до(с) — IX[1 — 4(у —(- 0)* ]•
— 00
Согласно хорошо известной теореме анализа, имеем
ОО
cos х — cos у ТТ Г. х1 ")
1 — cos у (У + 2*У)*.|-
— 00
Положим в этом равенстве х = кс, у = 2ic0 = те V^0d. Тогда
а ,.л _cosr.c —созСя^ёЛ)
До(С) l-cos(i^F0) • (3)
5) Уравнение для определения с0. Пусть Д"(с) означает симметричный
определитель с 2«-f-l строками и столбцами, получаемый из определителя
(6) § 18.25. Если п очень велико, то мы с достаточной степенью точности
можем записать формулу (1) в виде
Д" (с) = k (cos тес — cos irc0). (4)
Это равенство в таком случае будет достаточно строгим при всех значениях
с. Следовательно, величина k может быть получена путем приравнивания
коэффициента при наивысшей степени с в Дя(с) коэффициенту при
соответствующей степени с в разложении cos я с в бесконечное
произведение. Далее, коэффициент при высшей степени с
416
Глава 18. Теория Луны Хилла — Брауна
в определителе А" (с) получается из элементов, лежащих на главной
диагонали, и совпадает с коэффициентом при высшей степени с
симметричного определителя А" (с) с 2я-(-1 строками и всеми
элемен-
тами, лежащими вне главной диагонали, равными нулю. Поэтому из формул (3)
и (4) получаем
k ~ 1-соз (*Кв~о) ' (5)
Следовательно,
1 —соз (л к е0)
Это последнее уравнение является справедливым при всех значениях с, так
что, если с = 0, то
sin* -i- «с„
д(°) =------/1 (7)
sin*
Это уравнение выражает с0 через определитель Д(0). Вычисление с0 связано,
таким образом, с вычислением определителя А(0), который мы запишем в виде
А(0) =
1 —B20, —В2в2 —B203 —ba
-B,0, 1 -BA —BA —BA
—B09j 1 ад. —BqQ2
BA —BA -BA 1 -ba
... —в2в 4 —в2е3 —b2q2 —ад, 1
(8)
где ^ ^
в1 ~ 4/* —е„ “ 4 (У* — 0*) ?
§ 18.27. Вычисление Д(0)
Перед тем как вычислять Д(0), напомним, что коэффициенты 0у являются
малыми величинами порядка ш^, где ]—положительное число. Например, если
ограничить наши вычисления членами порядка т4 включительно, то ясно, что
все элементы, включающие вг при г > 2, можно отбросить. Тогда Д(0)
фактически приведется к главной диагонали и другим элементам, имеющим
множитель в]. Поэтому можно видеть, что
А (0) = 1 -(- Л01 -}- (В02 —C0i 02 —J— D9j) + .... (1)
§ 18.27. Вычисление Д(0)
417
где коэффициент А является малой величиной порядка т*. Члены, заключенные
в скоГки, имеют порядок т8 и т. д. Таким образом, Д(0) сходится очень
быстро.
Коэффициент А состоит из произведений членов вида — т. е.
А =—BjBj_v
— СО
Далее,
•*/=?/?/_ 1 = 16 (в2 — у2) [в* — (J— 1)*]'
Правую часть этого равенства легко можно выразить через элементарные
дроби, в следующем виде:
16Xj = 2q(20_1)(бЗГ7 + 0-(_у— l) 20(20 + 1) (вТ7^”о— -/+1)'
Воспользовавшись известной формулой
СО
ctg it<p = 2^+7* <2)
—оо
найдем
1 Г 2« ctg яб 2я ctg яб 1
Л)~ 326 L 26 — 1 26+ 1 J
и
л_ RctgR0
80 (46*— 1)’
Таким образом, опуская члены с В, С и D и т. д., получаем следующее
приближенное значение для Д(0):
“в1 ctg в0)
Д(0)=Н Vr ' . (3)
4(1 — в0) У в0
Так как 1— 90—малая величина порядка ш, то (1— 90)-,ctg */2* V^o имеет
нулевой порядок. Следовательно, формула (3) дает выражение для Д(0) с
точностью до т7 включительно.
Члены с В, С, D в выражении (1) могут быть преобразованы аналогичным
