Небесная механика - Смарт У.М.
Скачать (прямая ссылка):
и
0 = (в] — fl_i)sin 2;-|- — в-2 — ~2 Н“ "2 ®”1) *
* * *
Следовательно, истинная долгота будет выражаться следующей формулой:
v = л/ —|— е —|— j42 sin 2; —|— j44 sin 45 —J— .... (7)
где Л2у имеет порядок
3) С точностью до малых порядка т3 имеем
r=a|^l—(т2+ -g- m3jcos 2«j, (8)
v — л/Н-е-|—^-^-т2-| -^- m3jsin2;. (9)
Возмущения в т и v, зависящие только от членов с аргументами
2/-, называются вариационными членами.
$ 18.11. Перигей лунной орбиты
395
Основной член в формуле (9) для долготы тот, который зависит от sin2;;
обычно он называется просто вариацией (см. § 17.23).
§ 18.11. Перигей лунной орбиты
Мы будем исходить из уравнения (7) § 18.05, а именно
(D2 + 2mD + -|m2j« + -|m2s = x-p-. (1)
Частное решение уравнения (1), соответствующее промежуточной орбите,
записывается следующим образом:
и = а2а?2/+1, s = a2eir!''1.
где п и /0 — постоянные интегрирования, введенные выше. Общее решение
уравнения (1), эквивалентного двум уравнениям в действительных
координатах, каждое из которых второго порядка, должно содержать четыре
постоянные интегрирования, одна из которых, очевидно, тесно связана с
эксцентриситетом мгновенной орбиты Луны.
Пусть к + Дк, $-{-Д$ удовлетворяют уравнениям (1), где «us определяются
приведенными выше формулами. Для удобства мы положим р2 = us и г2 = (и -
f- Дк) (s -f- Дs). Отбрасывая квадраты и произведение величин Дк и Дs,
получаем
г2 = р2 + к Д$ -f-s Дк. (2)
Так как уравнение (1) удовлетворяется величинами к и s при условии, что г
заменено на р, то уравнение для Дк и Дs будет иметь вид
(О’+ 2л,0+4 т<) +?§ т’Д* = .
Легко видеть, что при помощи формулы (2) правую часть этого уравнения
можно привести к виду
-77(а«+з»-
Поэтому имеем
(д2 + 2шО + !ш2 + ^)Дк+(!т2 + 4?.?)д* = 0. (3) Далее,
DX ==?)[С (Г1*)]=W (С-1*)+С (Г1*) = С (D +1) (С1 АГ), D*X = С(D2 +
D){Г1*) + C(D -j- 1)(C1*) = ;(D + l)2(c~Xx).
396
Глава 18. Теория Луны Хилла — В pay на
Преобразуя посредством этих формул уравнение (3), мы получаем
[(?+ 1 + m)24~-g- (П,2-Ь'^« )](*• 1 ДВ)4-М(СД$) = 0, (4)
В дальнейшем мы покажем, что решение уравнения (4) определяет движение
перигея Луны. Для будущего нам, однако, необходимо разложить в ряды
величины ш2 —|— (х/р3) и N.
§ 18.12. Разложение в ряды величин jj+m2 и N
1) Очевидно, что если возвести в квадрат равенства (3) и (4) § 18.10 и
сложить, то г2 представится рядом по cos 2/;, причем г будет иметь здесь
значение, приписываемое величине р. Очевидно также, что р-3 будет
аналогичным рядом по косинусам.
Из формулы (1) § 18.11, если заменить г на р, имеем
Обозначим отношение, входящее в правую часть этого равенства, через 2
Aft1. Тогда
Это равенство справедливо при всех положительных или отрицательных делых
значениях у, включая и нуль. Например, для / = 0, 1, —1.
где
N=-
(5)
(D2 + 2m D) и m2s
и
Далее,
(D2+ 2mD) « = aC 21(2/+ 1)2 + 2m (2/+ 1)] ap = = (1 + 2m)« + aC2 IW + 1 +
m)
Поэтому
• (1)
[2 °?ir] [S W] = 22 aj_tApl.
Приравнивая коэффициенты при С2Л мы получаем
2 — W + 1 + m)e;+ j m2e_y_,. (2)
i
§ 18.12. Разложение в ряды величин ^ + т* и N 397
соответственно будем иметь
3
аоА>-\-йхА-хЛ' • •• — 2 ni2e_j, (3)
Mi + «iA)+M-i+ ... =4(2 + m)a, + | m2a_2, (4)
з
a0i4_j+a_ii4o + e-2^i4- ••• = — 4ma_,+ ^ m2a0. (5)
Из равенств (4) и (5), очевидно, следует, что Ах и А_х являются малыми
порядка ш2, а из равенства (3) получаем, что А$ — малая порядка т4.
Полагая в уравнении (2) / = 2, а затем j — — 2, найдем, что А^ и i4_2 —
малые порядка т4.
Далее, так как правая часть равенства (1) разлагается в ряд по косинусам,
то А1 = А_1.
Приведем еще некоторые результаты:
з
Al = А_х == -j ш2 — 4ша_1,
Aq = — m2ai + 4ma_i (ах + а_х),
А^ — ^4_2 = 8(1 — ш)л_2 + -j m2(aj — a_1) + 4mal1;
при этом выражения для Ах и А^ даются с точностью до малых
порядка ш5 включительно, a Aq дано с точностью до малых
порядка ш7.
Перепишем теперь равенство (1) в виде
±.+ т2= ! + 2т+1 т2+ А,+ 2' А&. (6)
или, в более удобной форме,
^ + т* = 2'%Мр1 = 2М0+2'% (7)
где
2Ж0=1 + 2ш + |-ш2+Л (8)
и
2М( — 2М_1 = Ах. (9)
Кроме того, напишем
? = 2 (10)
где 2Л1о = 2Л1о — т2 и = если 1Ф 0.
2.) Рассмотрим теперь формулу (5) § 18.11 для N. Мы имеем
398
Глава iS. Теория Луны Хилла — Брауна
Пусть Е означает второй член правой части этого выражения. Тогда,
используя равенство (10), будем иметь
т -iv •
При помощи приема, аналогичного тому, который применялся к дроби в-
формуле (1), мы найдем, что формула, определяющая v и аналогичная (2),
имеет вид
2v<-/ = 2 2 M'taj-i. (12)
Положим
м=2^Л (is)
где
N-\ =-|- m2 + -j v_j, (/?=-1). (14)
a Nt имеет порядок m'2<l. С точностью до членов порядка ш4 включительно
из равенства (12) мы без труда найдем, что
vo = 2Мо [ 1 — (ai — а_ О2], v, = 2Afi -j- 2Mo(fli — o_ i), (15)
v_ i = 2Mi — 2Mo (ai — a_ i).
§ 18.13. Выражения для Aa н As
Наше основное уравнение (4) § 18.11 при помощи формул (7)
и (13) предыдущего параграфа приводится к виду
[(ОН- 1 н- т)2 + 2 ^ Л (С-1 Дн) + [2 ^ Л (С Де) = 0. (1)
