Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
нибудь другого условия.
Для случая прямолинейной пластинки можно положить:
U - const, Cs - 0.
Тогда из (6.13) получим:
8 = 5,48]/ (6.14)
Сопоставляя правую часть (6.14) с правой частью (2.22), мы приходим к
заключению, что подсчёт толщины пограничного слоя с помощью упрощённых
уравнений (6.2) и (6.4) даёт завышенное значение для числового
коэффициента порядка 5,4%. Ошибка ц/ определении значения числового
коэффициента в формуле для толщины пограничного слоя по рассматриваемому
методу оказывается всё же меньше, чем это получилось в § 4 при применении
метода интегральных соотношений, а сами вычисления стали проще и не
потребовали численного метода решения дифференциального уравнения.
Основная скорость и по толщине слоя распределяется по параболическому
закону (6.9). По этой причине мы не можем установить положение точки
отрыва пограничного слоя. Чтобы установить положение точки отрыва,
необходимо предварительно уточнить полученное решение для основной
скорости. Это уточнение можно произвести с помощью первого уравнения .
(6.2), если подставить в правую часть значение ускорения, подсчитываемое
уже по формуле (6.5). Если подставить значение и из (6.9) в (6.5) и
произвести
282
ТЕОРИЯ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
[ГЛ. VIII
все вычисления, то для ускорения Wx получим многочлен четвёртой степени,
а поэтому основная скорость, определяемая по первому уравнению (6.2),
будет представляться во втором приближении уже многочленом шестой
степени. Толщина слоя в этом приближении будет определяться равенством
180 М ( С 81/ \
8 "imj U-'dx + Cj, (6.15)
о
а положение точки отрыва будет определяться из равенства
Полученное значение (6.16) отличается от экспериментального значения
(4.13) для эллиптического цилиндра на 30%, но всё же оно ближе к
экспериментальному, чем то значение, которое получается при применении
приближённого метода Польгаузена.
§ 7. Распространение тонкой ламинарной струи
Дифференциальные уравнения, выведенные для пограничного слоя вблизи
твёрдой стенки, нашли своё применение и в изучении распространения
движения от струи, втекающей в полубесконечное пространство, заполненное
той же жидкостью, но находящейся на бесконечности в состоянии покоя. Если
при обтекании твёрдой границы происходит распространение торможения от
стенки внутрь потока благодаря вязкости, то при втекании струи в
безграничную жидкость происходит распространение уже самого движения
благодаря той же вязкости жидкости. Такое сходство явлений и
обусловливает возможность использования одних и тех же дифференциальных
уравнений.
Рассмотрим случай бесконечно тонкой плоской струи типа источника. Начало
координат поместим в точке источника струи, ось х направим по плоскости
симметрии, а ось у- перпендикулярно к этой плоскости. Так как через
элементарный отрезок dy проходящая масса рudy переносит с собой
количество движения) ри dyu, то полное количество движения, переносимое
всей струёй чефез всю прямую, параллельную оси у, будет представляться в
виде
Ч-ОО
J= J pu?dy. (7.1)
- СО
Если жидкость простирается до бесконечности и там находится в покое и
если нет каких-либо твёрдых границ внутри жидкости, то давление можно
считать всюду постоянным, т. е.
р = const. (7.2)
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТОНКОЙ ЛАМИНАРНОЙ СТРУИ
Применяя теорему об изменении количества движения жидкости к области
"между двумя прямыми, параллельными оси у, и используя постоянство
давления, мы приходим к выводу о постоянстве переносимого струёй
количества движения, т. е.
4- ОО
J ри'2 dy = const = J0 = рК0. (7.3)
- СО
Полное количество движения, переносимое струёй, называется
импульсом струи. Импульс струи считается заданным, так как считается
заданным распределение скоростей в начальном сечении струи.
Для изучения движения частиц внутри струи используются уравнения (1.13)
пограничного слоя. Эти уравнения при использовании постоянства давления
принимают вид
ди . ди д2и )
id 4. = о f (7-4)
дх ^ ду и- )
На линии симметрии продольная составляющая вектора скорости должна быть
наибольшей, а поперечная составляющая должна обратиться в нуль. Таким
образом, для линии у - 0 будем иметь следующие граничные условия:
при у = 0 = v = 0. (7.5)
Считая, что движение от струи распространяется до бесконечности, будем
иметь дополнительное условие:
при у -> оо и -> 0. (7.6)
Таким образом, задача изучения движения жидкости в плоской струе сводится
к решению уравнений (7.4) при граничных условиях (7.5) и (7.6) и при
интегральном инварианте (7.3).
Для случая струи типа источника можно методом размерностей
свести уравнения (7.4) к одному обыкновенному уравнению. В этом случае
единственной заданной размерной величиной будет импульс струи и,
следовательно, масштабы длины I и скорости U будут связаны одним
соотношением
U4
%п = К0< (7.7)
V R
где R - число Рейнольдса, а п - неопределённое пока безразмерное число.
Пользуясь этим соотношением, мы можем, например, масштаб длины выразить
через масштаб скорости в виде
