Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
большого мемуара Пуассон различает два вида сил: 1) силы притяжения, не
зависящие от природы тел, пропорциональные произведению их масс и обратно
пропорциональные квадрату расстояния между ними, и 2) силы притяжения или
отталкивания, зависящие в первую очередь от природы частиц и количества
содержащейся в них теплоты; интенсивность этих сил весьма сильно убывает
с увеличением расстояния между частицами. Весь мемуар Пуассона по
существу посвящён вычислению механического эффекта именно .вторых сил и
выводу уравнений равновесия упругих тел (§ 3), уравнений равновесия
жидкости с учётом капиллярного натяжения (§ 5) и уравнений движения
жидкости Cj учётом внутреннего трения жидкости (§ 7). При выводе
соотношений, связывающих проекции соответственных сил, представляющих по
современной терминологии нормальные и касательные напряжения на трёх
взаимно .перпендикулярных элементарных площадках, с производными по
координатам от проекций вектора скорости, используются соответственные
соотношения для напряжений в упругом теле с помощью следующих
рассуждений. Общий промежуток времени t делится на п равных малых
промежутков времени т. В первый интервал времени т после воздействия
внешних сил жидкость смещается как упругое тело, поэтому распределение
напряжений будет связано с распределением смещений так же, как и в
упругом теле. Если внешние силы, вызывавшие смещение, перестают
действовать, то частицы жидкости быст'ро приходят в такое расположение,
при котором давление по всем направлениям становится одинаковым, т. е.
касательные напряжения исчезают. За это время перераспределения
расположения частиц происходит, таким образом, переход состояния
напряжений, отвечающего упругому деформированию, в состояние напряжений
давлений, отвечающее состоянию равновесия жидкости. Если же причина
смещения продолжает своё действие и в течение второго интервала времени,
то, предполагается, что различные малые смещения будут происходить
независимо от предшествующих и что новые смещения
!) Р о i s s о л, Memoire sur les equations generates de I'equilibre et
du mou-vement des corps solids elastiques et des fluides, Journal de
L'ficole Royale Polytechnique, т. XIII, 1831.
18
ВВЕДЕНИЕ
частиц во втором интервале времени будут происходить так же, как й в
первом. Предполагая п бесконечно большим, мы придём к тому, что жидкость
будет в начале каждого следующего бесконечно малого интервала времени
деформироваться как упругое тело, а к концу этого интервала времени
состояние упругих напряжений будет перерождаться в состояние давлений,
одинаковых по всем направлениям. С помощью такого рода рассуждений
Пуассон и устанавливает впервые те соотношения, согласно которым
дополнительные к давлению напряжения при движении жидкости линейно
зависят от соответственных скоростей деформаций частицы. Касательные
напряжения по соотношениям Пуассона получаются пропорциональными
скоростям сдвига. Что же касается соотношений для нормальных напряжений,
то в них, помимо давления и слагаемых, пропорциональных величинам
скоростей удлинений отрезков, входят два дополнительных слагаемых, из
которых первое пропорционально относительному изменению во времени
плотности, а второе -пропорционально изменению во времени давления.
Соотношения Пуассона содержат три постоянные, из которых одна постоянная
совпадает с постоянной, введённой Навье, и представляет собой коэффициент
вязкости, входящий в формулу гипотезы Ньютона о вязкости. Вторая
постоянная представляет собой коэффициент объёмной вязкости или второй
коэффициент вязкости. Третья постоянная Пуассона в последующих работах
совершенно не была принята во внимание.
Используя эти соотношения для напряжений, Пуассон, далее, получает
дифференциальные уравнения движения жидкости, по внешней форме
совпадающие с уравнениями Навье. Различие состоит только в том, что.
давление заменено в уравнениях Пуассона через некоторую функции,
содержащую, кроме давления, производные по времени от давления и
плотности, Чтобы замкнуть систему уравнений, Пуассон присоединяет к ней
уравнение неразрывности в общей форме с учётом изменения плотности и
уравнение физического состояния, связывающего плотность, давление и
температуру. К этим уравнениям присоединяется уравнение теплопроводности
в своей простейшей форме, т. е. без учёта конвекции. Таким образом, в
мемуаре Пуассона впервые были введены соотношения, выражающие линейную
зависимость тензора дополнительных напряжений жидкости при её движении от
тензора скоростей деформаций частицы, и установлены дифференциальные
уравнения движения вязкой сжимаемой жидкости.
Одновременно с Навье и Пуассоном уравнениями равновесия упругого тела
занимался и Коши, Но исследования Коши по своему методу существенно
отличаются- от исследований Навье и Пуассона. В работах Коши
последовательно используются понятия напряжения и относительных
деформаций, представления о поверхности напряжений и поверхности
