Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, в работе Навье с самого начала используется гипотеза о
сплошности жидкой среды и предположение о непрерывности деформирования
частицы жидкости. Навье вводит в рассмотрение разность векторов скоростей
в двух соседних точках и устанавливает выражение для скорости абсолютного
удлинения элементарного прямолинейного отрезка, соединяющего две соседние
частицы. Таким образом, если у Ньютона при формулировании гипотезы о
вязкости по существу речь шла о деформации простого сдвига частицы
жидкости, то у Навье речь идёт уже о деформации удлинения отрезка
произвольного направления. В своих дальнейших рассуждениях Навье
использует следующую гипотезу: дополнительная к давлению сила
взаимодействия между двумя соседними частицами жидкости прямо
пропорциональна скорости абсолютного удлинения расстояния между ними.
Коэффициент пропорциональности считается зависящим от расстояния так, что
при удалении частиц друг от друга он должен стремиться к нулю, а при
приближении этот коэффициент должен стремиться к конечному значению,
отличному от нуля. Под дополнительной силой в своей гипотезе Навье
понимал силу, приходящуюся на единицу объёма одной фиксированной частицы
со стороны единицы объёма второй фиксированной частицы. По этой причине
гипотеза Навье формально не совпадает с принимаемой в настоящее время
обобщённой гипотезой Ньютона для вязкой несжимаемой жидкости, но по
своему содержанию она всё же близка к ней. Чтобы оценить суммарное
воздействие всех окружающих частиЦ жидкости на одну фиксированную частицу
с единичным объёмом, Навье подсчитывает сумму всех элементарных раббт
рассматриваемых сил воздействия со стороны всех окружающих частиц
жидкости на том элементарном перемещении, которое представляется
вариацией абсолютной скорости удлинения. Суммирование этих элементарных
работ проводится с помощью интегрирования по объёму всего пространства
при использовании сферических координат с началом
Ч Navier, Memoir sur les lois du mouvement des fluids, Mem. de L' Ac.
Royale de sc. de L' Institut de France, т. VI, 1827.
16
ВВЕДЕНИЕ
в фиксированной точке. При выполнении вычислений вводится следующее
обозначение:
OQ
е=ж/г4-^г>
о
где /(г) представляет собой коэффициент пропорциональности в указанной
выше гипотезе Навье. Далее, с помощью принципа возможных скоростей Навье
получает дифференциальные уравнения движених вязкой несжимаемой жидкости
в том именно виде, в котором онг используются и по настоящее время. В
этих уравнениях коэффициент е совпадает с коэффициентом вязкости ji.
Аналогичным путём вводится коэффициент внешнего трения и формулируется
граничное условие на стенке в виде равенства сил внешнего и внутреннегс
трения.
В IV главе работы Навье рассматривается прямолинейное неустановившееся
движение вязкой несжимаемой жидкости в трубе прямоугольного сечения и в
цилиндрической трубе круглого сечения пол действием силы тяжести. Навье
указывает на аналогию последней задачи с задачей теплопроводности для
круглого цилиндра и даёт полное решение этой задачи в виде ряда по
цилиндрическим функциям нулевого порядка. Из этого решения Навье получает
как предельный случай и решение задачи о прямолинейном установившемся
течении вязкой несжимаемой жидкости в круглой цилиндрической трубе под
действием силы тяжести. Полагая в этом решении радиус трубки очень малым,
Навье получает следующее выражение для средней скорости течения:
/г_ Pg'sine R
~ * "(.+?)'
где р - плотность, 0 - угол наклона оси трубы к горизонту, R - радиус
трубы и Е - коэффициент внешнего трения. Согласно полученной формуле
средняя скорость течения в трубке с малым диаметром будет пропорциональна
первой степени диаметра. Получив этот результат, Навье отмечает, что этот
результат согласуется с результатами экспериментальных исследований
Жирара. Это последнее обстоятельство, повидимому, и остановило Навье от
дальнейшего анализа полученной им общей формулы для скорости
установившегося движения в цилиндрической трубке. А между тем, если
исходить из общей формулы Навье и устремить коэффициент внешнего трения к
бесконечности с учётом принимаемого граничного условия на стенке, то
можно вывести формулу, получившую позднее название формулы Пуазейля,
согласно которой средняя скорость будет пропорциональна не первой степени
диаметра, а второй.
ВВЕДЕНИЕ
Таким образом, в цитированной выше работе Навье были получены не только
полные дифференциальные уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости,
содержащие постоянный коэффициент вязкости, но и граничные условия на
стенке в своей общей форме и решения отдельных задач о неустановившемся
прямолинейном движении жидкости.
Вскоре после опубликования работы Навье в 1829 г. было сделано устное
сообщение в Парижской Академии' наук об исследованиях Пуассона общих
уравнений равновесия и движения упругих тел и жидкости. Эти исследования
Пуассона были опубликованы в 1831 г.1). В первом параграфе своего
