Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
частиц к контуру и при отбрасывании квадратичных членов инерции главный
вектор результирующего воздействия в комплексной форме будет
представляться окончательно в виде
/?* + */?" = -4ц/</[Ф(*)1. (2-13)
Для подсчёта результирующего воздействия на плоский контур согласно
(2.13) надо лишь подсчитать приращение функции комплексного переменного
Ф(z) при полном обходе рассматриваемого контура. Таким образом,
результирующее воздействие на плоский замкнутый контур^при его
поступательном движении будет только тогда отлично от нуля, когда функция
Ф(г) неоднозначна.
Формула (2.13) может быть получена с помощью простых преобразований на
основании (4.25) главы 111.
ДВИЖЕНИЕ КРУГЛОЙ ЦИЛИНДРА
161
§ 3. Движение круглого цилиндра
Общие соображения, изложенные в предшествующем параграфе применим к
частной задаче о движении круглого цилиндра.
Пусть круглый цилиндр радиуса а перемещается поступательно в вязкой
несжимаемой жидкости параллельно оси х с постоянной скоростью U (рис.
43). Считая движение жидкости установившимся " пренебрегая действием
массовых сил и квадратичными членами инерции, получим для функции тока
бигармоническое уравнение
ДДф = 0. (3.1)
В полярных координатах проекции вектора скорости частиц жидкости через
функцию тока будут представляться в виде
- 1^ и =-дЛ (3 2) rdf' vi дг'
3 силу предположения о прилипании частиц жидкости к стенке будем иметь
граничные условия на самом цилиндре в виде
vr
Рис. 43.
1 _
при r = a ~^- = Ucos <р, -57 = - ?/sin <р.
(3.3)
В качестве нового допущения принимаем, что возмущения, вызываемые самим
движением цилиндра в вязкой жидкости, будут исчезающе малыми не на
бесконечном удалении от цилиндра, а на некотором конечном расстоянии,
равном Ь. Таким образом, в качестве вторых граничных условий принимаем
условия обращения в нуль скоростей на конечном расстоянии от цилиндра, т.
е.
dty_________
дг
0.
(3.4)
Вид граничных условий (3.3) даёт некоторое основание к тому, чтобы искать
решение уравнения (3.1) в виде
6 = sin<p/(r). (3.5)
При таком предположении будем иметь:
^ = W*+ 757+ Я?= sin ? [Г+7^ -7Г/1 =sin F(г)-
Решение дифференциального уравнения
о
' Г Г2
162 ДВИЖЕНИЕ ПРИ МАЛЫХ ЧИСЛАХ РЕЙНОЛЬДСА. МЕТОД СТОКСА {гЛ. V
представляется в виде
F = Ar + ^.
На основании (2.7) вихрь со в рассматриваемом случае будет равен
2<о = - Дф = - sin cp^4r-J-y^ = Im- [a.z- (3.6)
Для давления согласно (2.9) получим следующее выражение:
Р =Ро+I1 fa - 4) " Po + P \Ar - т) cos '?• (3*7)
Таким образом, будем иметь:
p~2l^-]x[Az - y)+Po- (3-8)
Для определения же выражений для проекций скоростей необходимо ещё решить
следующее дифференциальное уравнение:
f+rf-hi=i{f'+i)=Ar+T-
При первом интегрировании этого уравнения получим:
? + Т = {rf) = ?Al* + B In г+ С,.
После второго интегрирования будем иметь:
/(г) = |лгЗ + 1вг(шг-1) + Сг + Д.
Таким образом, для функции тока и проекций скоростей будем иметь
следующие выражения:
ф= sin ср/ (г) == sin tp [i- А г3 - j- ~ Br (in г - + Сг +
у ] ,
г''-=7^ = с05'?[7Лг2+75(1пг-7)+С+7']- (3.9)
vf = - 57 ='~sin * [тAr2+1В (1п г+ I)+ С~^ 5] *
Сопоставляя выражения (3.8) и (2.9), получим:
4|*/Ф'(*) = |"(Аг--j-),
или
4Ф(г)= - / [^-Аг2 -?lnz +"] (3.10)
где К-произвольная постоянная*
ДВИЖЕНИЕ КРУГЛОГО ЦИЛИНДРА
163
Подставляя значение Ф{г) из (3.10) в формулу (2.13) и учитывая,
|то интегралы от z2 и К обращаются в нуль, а интеграл от -j
Цфвен 2ш, получим для результирующего воздействия на рассматриваемый
круглый цилиндр выражение
Rx-\-iRy = 2%)xB. (3.11)
Таким образом, вектор результирующего воздействия на круглый цилиндр при
его поступательном движении зависит только от одной достоянной,
являющейся множителем при том слагаемом в выражении (3.9) функции тока,
которое содержит логарифм от полярного радиуса.
Используя граничные условия (3.3) и (3.4) и выражения для скоростей
(3.9), получим следующие уравнения для определения произвольных
постоянных:
i^+is(1n"-i) + C+|- = t/, 4^ + iB(ln" + i) + C-|- = U,
4 АР + 4В (l" 6 + 4) + С-? = 0.
Исключая ив этих уравнений С и D, будем иметь: jA (№ - a2) + Bln-^- = -
2U,
1. а (д* - а*) + ~ В (0" - сР) = 0. Отсюда, обозначая
4=*, (3.12)
получим для постоянного В следующее выражение:
\и ?2-1
2 U
в =-----------------------^ (3.13)
In ? ¦
?2-(-l
Подставляя значение В в (3.11) и приравнивая действительные части,
Получим формулу для сопротивления круглого цилиндра при его
поступательном движении в вязкой несжимаемой жидкости
4-я
к* = . "V-1 ?и- (3-!4)
In*~ F+1
164 ДВИЖЕНИЕ ПРИ МАЛЫХ ЧИСЛАХ РЕЙНОЛЬДСА^ МЕТОД СТОКСА [ГЛ. V
На основании формулы (3.14) мы заключаем, что сопротивление
пропорционально коэффициенту вязкости и скорости поступательного движения
в первой степени. Безразмерный множитель, входящий в формулу (3.14),
зависит от отношения радиуса зоны возмущений, вызываемых движением
цилиндра, к радиусу самого цилиндра. При возрастании радиуса зоны
возмущений до бесконечности безразмерный коэффициент сопротивления будет
