Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
der deutschen Mathem. Vereinigung 25, 1916.
2) О seen C., Exakte Losungen der hydrodyn. Differentialgleichungen,
Arkiv for matem. astr. och fvsik, т. 20, N 14, 22, 1927.
3) Ros enblatt A., Solutions exactes des equations du mouvement des
iquides, visqueux, Mem. des Sciences Mathem. 72. 1935.
Рис. 40
ВРАЩЕНИЕ БЕЗГРАНИЧНОЙ ПЛОСКОСТИ
147
В качестве примера применения этого метода рассмотрим случай вращения
безграничной плоскости, впервые исследованный в работе Кармана *).
Если, помимо предположений о несжимаемости жидкости, об установившемся
характере движения и о возможности пренебрегать действием массовых сил,
допустить ещё, что распределение скоростей и давления не зависит от
полярного угла в, то дифференциальные уравнения (7.1) примут вид
Следуя Карману, примем для скоростей и давления следующие выражения:
При этих предположениях дифференциальные уравнения (11.1) принимают
следующий вид:
Таким образо:Ь благодаря предположениям (11.2) дифференциальные уравнения
(11.1) с частными производными оказались преобразованными в систему
(11.3) четырёх нелинейных обыкновенных уравнений второго порядка.
Дальнейшее рассмотрение уравнений (11.3) проведём применительно уже к
конкретной задаче вращения безграничной плоскости Оху вокруг оси z с
постоянной угловой скоростью ш0 в жидкости, расположенной только по одну
сторону от плоскости (рис. 41). Примем, что частицы жидкости прилипают к
вращающейся стенке, т. е.
при z = 0 vr = 0, vv = /чо0, vz = О,
vr dz "T" z dz г ~ p dr ' V dr* _r r dr d& raj '
dvy dVy vrv9 id^Vy . 1 dvv дЪ9 "9\
(11.1)
dVr I tv _L ^ = Q or 1 r 1 dz
vr = rF(z), Vy = rO (z), v2 = H(z), p = p(z). (П.2)
F2 +
наЛ = -±
Idp , &H
о dz ' dz'2 '
(11.3)
dz p
!) Kdrman Т., Ober die laminare und turbulente Reibung, ZAMM 1, 1921.
148 ТОЧНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ УСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. IV
а на бесконечности лишь две скорости vr и обращаются в нуль, так как
радиальное растекание жидкости по плоскости возможно, только если считать
v. на бесконечности отличной от нуля:
при z -> оо г/,.-* О,
Учитывая предположения (11.2) и сформулированные граничные условия, будем
иметь для искомых функций следующие граничные условия:
при z = 0 /7(0^ = 0, 0(0) = ю0, Н( 0) = О, 1
при z = oa F(oo) - Q, G( оо) = 0. j
Дифференциальные уравнения (11.3) при граничных условиях (11.4)
можно решать с помощью разложений искомых функций вблизи
начала координат (z ~ 0) и их асимптотических
разложений вблизи бесконечно удалённой точки
(z = оо). Входящие в эти разложения коэффи-
циенты должны быть определены не только
из граничных условий, но и из требований
непрерывности самих функций F, G и Н и пер-
dF dG "
вых производных - и -. Так как это ре-
Рис. 41. шенИе является громоздким, то мы рассмот-
рим лишь приближённое решение этих уравнений в том случае, когда
граничное условие на бесконечности заменено условием на конечном
расстоянии от плоскости. Примем, что на некотором неизвестном расстоянии
3 от плоскости две скорости vr и обращаются в нуль и обращается в нуль
первая производная по z. Иначе говоря, второе граничное условие
(11.4)
заменим следующим:
при г = Ъ /^(3) = 0, 0(8) =0, ^- = 0. (11.5)
Нелинейные слагаемые в первых двух дифференциальных уравнениях (П.З)
заменим их средним значением по толщине слоя 3, т. е. положим:
§ 11]
ВРАЩЕНИЕ БЕЗГРАНИЧНОЙ ПЛОСКОСТИ
149
Решая уравнения (11.7), получим:
1
F =-у Az1-1- Сгг -|- С8, | G=^2 Bz'2 + C-,z + С4. |
(11.8)
На основании последнего уравнения (11.3) и (11.8) будем иметь:
Я = -2(1д2з + 1с122 + С22+Сб). (11.9)
Используя граничные условия (11.4) и (11.5), получим следующие значения
постоянных:
С* = -1/18, Ci = ш0,
Са = 0,
1 п" ш0
сз - - 2 5 '
Сб = О,
о ________2ю0
52 '
При этих значениях искомые функции представятся приближённо в виде
F = ±A(z* - iz),
G = g(*-8)9,
Н = -л(12"-|8г*).
(11.10)
Подставляя (11.10) в (11.6) и выполняя интегрирование, получим уравнения
для определения А и толщины слоя 8
AW
40v
о
57
2т0 ______
52 -
Разрешая эти уравнения, получим:
А =
~Г07 •
15 v
= 3,50 л[-f. У ш0
(11.11)
Сила вязкости, приходящаяся на единицу вращающейся плоскости, будет
представляться в виде
/_ ч ___ f^vf\ _________________ Яргшо
(р") о -1* (¦)0 - rr(-ji)0 - -ь~ •
Умножая левую и правую части на 2тгг9<7л и проводя интегрирование
150 ТОЧНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ УСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. IV
по переменному г от нуля до некоторого значения R, получим момент сил
вязкости, распределённых до диску радиуса R относительно оси вращения:
в з
L = - 2tz
о
J (/?фг)0г3й?г = - = - O,9^4|/fj.po)0a. (11.12)
Таким образом, в рассматриваемом примере момент сил вязкости относительно
оси вращения пропорционален угловой скорости вращения в степени 3/2.
§ 12. Случай импульсного источника
Следуя указанному в предшествующем параграфе обратному методу, рассмотрим
ещё один случай1) точного интегрирования уравнений установившегося
осесимметричного движения вязкой несжимаемой жидкости,
