Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
На противоположную грань с нормалью, направленной в положительную сторону
координатной линии, будет действовать импульс, равный
ЪЯ-1 Чз (РЛН-л) 3?1+ • • •]
Следовательно, результирующий импульс от этих двух импульсов будет равен
(/^ Д2Д3) oqt 8qe 5q3 At 4 ... (2.6)
Проводя аналогичные рассуждения по отношению к граням, перпендикулярным к
касательным к координатным линиям q2 и q3, получим:
¦?- (р2НдТ/,) 8^ bq2 bq.AAt+ . . ., j a } (2-7)
-щ- (PsH^) 84l 3q.2 3q3 At + . . . J
Складывая выражения (2.6) и (2.7), получим то приращение коли-
чества движения внутри фиксированного параллелепипеда, которое
обусловлено действием векторов напряжений по граням:
[A (PlH2H3) 4- ^ (раВД) + ^ (р,ад)] Чг 8?2 3?а Д7 + . . . (2.8)
Других источников изменения количеств движения внутри фиксированного
параллелепипеда нет. Поэтому изменение количества движения,
представленное выражением (2.1), мы должны приравнять сумме отдельных
приращений (2.4), (2.5) и (2.8):
^Р Дх Д2Д3 8?18<72 8?3 At + • • • = pFH, Н2Н3 b4l Ц2 щ, At -
{?v1VH2H.i)+^{?v2VH.iH1)+^(о^УВД)] tyJq^At-...+ + (P,H2Ha) 4- A (p^Hj + ±
(РзВД)] 3 4l bq2 bq3 A t+... (2.9)
УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ
77
Уравнение (2.9) представляет собой уравнение изменения количества
движения в элементарном'фиксированном параллелепипеде. Обе части
равенства (2.9) разделим на
и перейдём к пределу, стягивая параллелепипед в точку (bqx О, bq.2 -> 0,
о<73-> 0), а промежуток времени At уменьшая до нуля. Тогда невыписанные
члены высшего порядка малости, отмеченные точками, обратятся в нуль, и мы
получим уравнение изменения количества движения в фиксированной точке
пространства
Сопоставим выражения (1.6) § 1 с выражением (2.4). Если в выражении (1.6)
§ 1 под знаки производных по обобщённым координатам входили проекции
вектора плотности потока самой массы, умноженные на произведения
параметров Ляме, то в выражении (2.4) под знаки этих производных входит
три вектора: рг^У, pv2V, p^gV, представляющие собой векторы количеств
движения, переносимые массой через площадки, перпендикулярные к
координатным линиям. Эти три вектора образуют симметричный тензор,
который можно назвать тензором плотности потока количеств движения частиц
жидкости. Уравнение (2.10) можно назвать также уравнением переноса
количеств движения. Это уравнение было впервые введено в рассмотрение
Максвелломх) в созданной им кинетической теории газов.
Обращаясь к уравнению (2.10), мы видим, что локальное изменение вектора
плотности потока самой массы обусловлено не только действием объёмной
силы F, но и действием векторов напряжения pv Р2> Pi и векторов
переносимого количества движения рг^У, р^2^> ргь3У. При этом действие
последних векторов проявляется с формальной стороны так же, как и
действие векторов напряжений, взятых с обратным знаком. На этом основании
эти векторы можно объединить, полагая
Эти три вектора образуют тензор, который называется тензором плотности
потока импульсов. Вводя три вектора а1, а2, з3,
НХН.2Н3 оqx lq2 оqs At
"i = P(r)i V.- pv \
(2.11)
*) Maxwell, On the dynamical theory of gases, Phil. Trans. CLVII, 1866.
78 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. II уравнение
(2.10) можно представить в виде
тг3 = + 7щтХк +к +к, •
(2.12)
Для случая обычных прямолинейных координат х, у, z уравнение переноса
количества движения (2.10) представится следующим образом:
Т = Р/?+ ic ?иУ) + Ту {Р" ~?vV) + Tz (P-PwV^ (2-13)
§ 3. Дифференциальные уравнения движения среды в напряжениях
Левую часть уравнения (2.10) можно представить в виде
Л^т^к^+к^и^+к^М\+
[W | уг дV . v2 дУ . v3 дУ]
dt Т-Я, dqt1~ Но dq2 ¦ //, дс!лУ
Выражение в фигурных скобках представляет собой левую часть
уравнения неразрывности (1.7), т. е. оно обращается в нуль. Сле-
довательно, уравнение (2.10) можно представить следующим образом:
*=з
dV_ , yi ЖЁХ. -
Р dt 2ш1Нк dqk -
к = 1
=р^+нк^ЛкНлн>)+к/РЛН')+к/РЛН*>]- <ЗЛ)
Уравнение (3.1) есть дифференциально & уравнение движения сплошной среды
в векторной форме в криволинейных ортогональных координатах,
представленное через напряжения. Это уравнение можно получить и иным
путём, применяя закон Ньютона к фиксированной массе внутри
параллелепипеда с рёбрами 8^, os2 и 8s3.
Левая часть уравнения (3.1) представляет собой вектор ускорения, т. е.
изменение вектора скорости фиксированной частицы с постоянной массой.
Первое слагаемое левой части представляет собой лишь местное {локальное)
изменение вектора скорости, а остальные три слагаемых - конвективное
изменение вектора скорости частицы с постоянной массой, связанное с
переходом этой частицы из одного положения в пространстве в другое. Сумма
всех слагаемых представляет собой индивидуальную производную от вектора
скорости фиксированной частицы с постоянной массой. Аналогично будет
выражаться индивидуальная производная от любой другой величины, связанной
с фиксированной частицей постоянной массы. Так, напри-
§ 3] ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СРЕДЫ В НАПРЯЖЕНИЯХ 79
