Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
^ = ^[Vi + V3 + t'f'8] =
= 1Г *1 + Ж *2 + "Ж *3 + ^2 _ V^'
dvт
dv"
30
Зг/
r'i + 'd? *2 + '55'/8 +
3?
3f
Ид sin 0tg -)- Vf, COS 0*3 V9 COS 0*2 - sin 0*lf
gj- sin 0 (%*1 + Aq*2 + A A)] =
= *? cos 0 (Аж*1 H~ Аб*2 H~ А<р*з) +
-j-/? sin 0 [
pPbr . . дрт . , ^e?
30
*2 + -тзгг *з + %(*2 As*il.
Й = -L[R (*v* *i + Я,8*а + я"*а)] =
3<f
3<f> '1 ~г" "з? *2 + "3?*3 + P<fR sin-6*3 + + д.в cos 0*3 - p49 cos 0*.2
Pyy sin 0*х).
(3.10)
Подставляя в уравнение (3.1) выражения (3.2), (3.8) и (3.10) и
приравнивая коэффициенты при одинаковых единичных векторах слева и
справа, получим следующие дифференциальные уравнения движения сплошной
среды в сферических координатах в компонентах
уравнение переноса полной энергий
83
напряжений: dvR dvR ~dT+VR
v,dv
R
vl + vl
dR ^ R db
R sin 0
" , 1 ГdPRR _i_ 1 dPm
= F*+jrw+-
i
dP, R
R dd
R sin 0 dy
+ -ft (?pRR + ctg Hpt
№
99
>]•
dv, dv,
+ VR
dt
, ^e<4
"Г D Aft
dv.
dR 1 R dd
= -^0 +
A>sin 0 d<f ' +
~b -
^ctg0 = 1 дР*ъ ,
If^RI , ________
p L dR R "И Я sin 6 dy ~t~
+ ~d (/'ев ct§ (r) + Ърт-pm ctg 0)
dv ____9
dt
' Vr dR R
v^dv^ dd
R sin 6 d<-f
I ?i
ft dv ' /?
p I 1 \dPli< r9~l" p L dR
1 дРн
R
dp<p,p
+ _Octg0 =
~ь
R db ' R sin 6 dy
+ ^(2^ctg0 + 3^)j.
(3.11)
§ 4. Уравнение переноса полной энергии
Переходя к выводу уравнения изменения энергии в фиксированном
элементарном объёме, заметим, что в термодинамике под внутренней энергией
системы подразумевается та часть полной энергии, которая зависит от
температуры, объёма й химического состава системы, при этом, если
пренебрегать энергией взаимодействия частиц системы друг с другом, то
внутренняя энергия обладает свойством аддитивности, и поэтому можно
ввести понятие удельной внутренней энергии г, представляющей внутреннюю
энергию единицы массы. Если мы будем рассматривать фиксированный объём,
не изменяющийся во времени, то полная удельная энергия единицы массы
будет
состоять из кинетической энергии -g- V2 и внутренней энергии е.
Изменение полной энергии массы в фиксированном малом объёме за малый
промежуток времени At будет составляться из отдельных изменений за счёт:
1) входа и выхода масс через границы объёма,
2) элементарной работы объёмной силы F, 3) элементарной работы
векторов напряжений pv р.2, /"3 и 4) притока тепла благодаря
теплопроводности. Другие источники изменения полной энергии (излучение и
пр.) мы учитывать не будем.
Подсчитаем отдельные изменения полной энергии в фиксированном
параллелепипеде с рёбрами bslt оs2, Ss3.
84 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. II
В момент t масса, содержащаяся в фиксированном объёме oSj 8s2 os3, будем
иметь полную энергию, равную
[(? + s) р]" Я1Я2Яз^1 Ча ЬдА, а в момент *-(-Д* б\щет иметь:
t + bt
Н1Н2НАЪд1 ЧаЧа
[Р (?+$)]
' { [р (т"s) t Ж [р (т ?) д*+ • • • } HiHvHt 4i Ч2 Ча-
Следовательно, приращение полной энергии в фиксированном объёме за
промежуток времени At представится в виде
д_
dt
[P(t+S) Д*Я1Я2Яз89,189,289,з+• • •
(4.1)
Через грань, перпендикулярную к касательной к координатной линии дг и
проходящую через точку О с координатами gv д2, дА, входящая масса
pv1H2H.ibg2bg.6 внесёт с собой в параллелепипед следующее количество
полной энергии:
Г (V2
5)я-2яз]д ЧаЧа At.
Через противоположную грань, проходящую через точку с координатами gx-
\~4v д2, дА, выходящая масса вынесет количество полной энергии, равное
^V\UoHз Ь s) ^ Ч<2 4i = | ?V1 ("2"+ S) R2RA
[р(r)1 (^Г + $) Н2НА 4l + • • • ) 4i Ча Дt.
dq-L
Следовательно, внутри параллелепипеда задержится следующее количество
полной энергии:
' Чг l?Vl (? + $) H*Hi bQl Ь<12 Ь%
(4.2)
Повторяя такие же рассуждения по отношению к граням, перпендикулярным к
касательным к координатным линиям д2 и д.й, получим:
- [рщ(^"+s) H'iHl bqibq*•••
Egg og2bgAAt-
(4.3)
Складывая выражения (4.'2) и (4.3), получим приращение' полной энергии в
фиксированном объёме за счёт входа и выхода масс через
§ 4] УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА ПОЛНОЙ ЭНЕРГИИ 85
границы объёма за малый промежуток времени At:
- (Wi bVl (т+s) H*Hi. + Wi lpv'2 (^+ ?) +
+ <4 И (t+ 8) H1H*] I ^ bq* s^3 . . . (4.4)
Изменение полной энергии, обусловленное элементарной работой объёмной
силы F, представится в виде
рF • VHXH2Н.А At bqx bq2 Zq.,. (4.5)
Элементарная работа сил напряжений, распределённых по грани,
перпендикулярной к касательной к координатной линии qv представится в
виде
р_г • V AtH.2H3 bq2 8<7з = - (Pl ¦ УН2Н3)й1 bq2 bq.A At.
Элементарная работа сил напряжений, распределённых по противоположной
грани, будет равна
(Л ' VH-,H\ S?2 S(7:i ^ =
= \iPl . VH2H.A)qi 4- JL (Pl . VH2H.A) bq1 + . . . ] bq2 5q. At,
алгебраическая сумма этих двух элементарных работ будет равна
~ (Pl • VH2H.A) bq, bq2 bq, A t+... (4.6)
Повторяя такие же рассуждения по отношению к другим граням,
получим:
?-(Ръ ¦ VH,H1)Zq1bq2bq,At + . . . , ]
д I
^(р,- VH1H2)bq1bq2bql,At+... j
Складывая выражения' (4.6) и (4.7), получим то изменение полной энергии в
фиксированном объёме, которое обусловлено элементарной работой всех сил
