Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
площадкам с произвольной их ориентацией по отношению к главным осям,
воспользуемся формулой (10.14), имеющей вид
*=з
Рп = 2 л-44-
1<= L
Подставляя в правую часть значения рк из (11.4), получим:
7,- = 3 к = з
Рп - f-р~\~{^''-fJl 44 + 2ч- ^ s/c44- (ii-ii)
к = L к = L
Сумма, входящая множителем в первое слагаемое в правой части,
представляет собой единичный вектор нормали к рассматриваемой площадке,
т. е.
к = 3
2 44 - 4
А- = 1
вторая же сумма согласно формуле (7.14), а затем формуле (5.10) может
быть представлена в виде
*=з ,"=з*=з
ft - 1 Ш = 1 7с "1
где 4 - направляющие косинусы нормали по отношению к осям коор^ динат, не
совпадающим с направлениями главных осей напряжений и деформаций в
рассматриваемой точке.
§ И]
ОБОБЩЕННАЯ ГИПОТЕЗА НЬЮТОНА
63
Таким образом, вектор напряжения на площадке с нормалью п будет
представляться в виде
Ш=3 Л = 3
V)
А. = [- /> + (*' -x)fj t'+2!A S 2
(11.12)
т-1 к-i
Проектируя левую и правую части (11.12) на нормаль, т. е. умножая
скалярно на единичный вектор нормали
т = 3
I- 2
получим выражение для нормального напряжения в виде
fc = 3 ш- 3
Рпп - - Р + f-) fJ "1" 2р- ^ ^
fc = lw = l
(.11.13)
Скорость относительного удлинения отрезка, совпадающего с нормалью п, мы
получим из формулы (6.5), если поделим левую и правую части этой формулы
на и заменим
OXfc
= h
ох"
Следовательно, скорость епп относительного удлинения отрезка будет
представляться в виде
¦111 = 3 к = 3
?пп =22 ^Mki'kL- (Ц.14)
т = 1 к-1
Итак, нормальное напряжение на площадке с произвольным направлением'
нормали п представляется следующим образом:
Рпп - - Р Н- fJ Н- 2р.зяге. (11.15)
Применяя эту формулу к площадкам, нормали к которым будут совпадать с
положительными направлениями осей координат л:,, х2 и xs, получим:
Рп - ~ Р + (^ - з1) fJ + 2й3и > Руг - - Р Н~ --------------9 -f- 2ре,
°22>
Pi ъ-
(11.16)
Полученные соотношения (11.1) и (11.16) связывают между собой все шесть
компонент напряжений и все шесть компонент скоростей
64 СКОРОСТИ ДЕФОРМАЦИЙ ЧАСТИЦЫ. КОМПОНЕНТЫ НАПРЯЖЕНИЙ [ГЛ. I
деформации частицы. Их можно объединить в виде следующей зависимости
тензора напряжений от тензора скоростей деформаций:
Тензор, у которого элементы по диагонали равны единице, а все остальные
равны нулю, называется единичным тензором. Это соотношение показывает,
что тензор напряжений является линейной неоднородной функцией от тензора
скоростей деформаций частицы.
Если мы учтём выражения компонент скоростей деформации частицы через
компоненты скоростей движения её центра, то соотношения (11.1) и (11.16)
представятся в виде
Равенства (11.18) представляют собой в окончательном виде обобщённую
гипотезу Ньютона, устанавливающую дифференциальную связь между
компонентами напряжений и скоростями движений частиц жидкости.
Девиатор напряжений (10.22) через главные нормальные напряжения
представляется в виде
Девиатор скоростей деформаций (7.9), представленный через главные
скорости удлинений, имеет вид
7*21 Р 22 Pi 3 РЯ1 Рм Р*Л
(11.17)
(11.18)
о
Pi - Pi - (Pi - Pi) 0
I
Ч - ч - (ч - ч) о о
о
Ч - ?з ~ (Ч - Ч)
о
Ч - ?1 - (ч - ?з)
г
§ 11] ОБОБЩЕННАЯ ГИПОТЕЗА НЬЮТОНА 65
Если значения разностей главных нормальных напряжений в \Dp) заменим
согласно (11.2) через разности главных скоростей удлинений, то мы
получим:
(Dp) = 2р (?>"). (11.19)
Таким образом, обобщение гипотезы Ньютона, представленное соотношениями
(11.1) или (11.2), по своему существу означает, что девиатор напряжений
пропорционален девиатору скоростей деформации, причём коэффициент
пропорциональности равен удвоенному коэффициенту вязкости.
Заметим, что соотношение (11.3) есть не что иное, как линейное
соотношение между линейным инвариантом тензора напряжений (Рг) и линейным
инвариантом тензора скоростей деформаций (?•[), т. е.
Р1 = - Зр + 3\'Е1. (11.20)
Аналогично обстоит дело и с соотношениями (11.2). Если мы возьмём
квадратичный инвариант девиатора напряжений (10.28), заменим в нём
разности напряжений из (11.2) и учтём выражение (7.12) для квадратичного
инварианта тензора скоростей деформации, то получим:
(11.21)
Таким образом, обобщённая гипотеза Ньютона сводится к линейному
соотношению (11.20) линейных инвариантов тензоров напряжений и скоростей
деформации и к линейному соотношению (11.21) квадратичных инвариантов
девиаторов напряжений и скоростей деформаций. Это обстоятельство
указывает на то, что обобщённая гипотеза Ньютона обладает свойством
инвариантности, т. е. она не зависит от выбора системы координат.
Наконец,
подставляя в (11.21) значения из (10.29) и значения^ 113 (7.13), получим:
р,. = 2рет. (11.22)
Таким образом, обобщение гипотезы Ньютона, представленное соотношениями
(11.1) или (11.2), сводится к тому, что интенсивность касательных
напряжений пропорциональна интенсивности скоростей деформаций сдвига.
На основании (10.26) нормальное напряжение на площадке результирующего
сдвига сводится лишь к среднему нормальному напряжению. Следовательно,
