Этюды о симметрии - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
1=0 m
Окончательный результат (мы опускаем ту часть вычислений, которая
относится к определению fi) можно сформулировать так: имеется всего 2s +1
волновых функций, локализованных в начале координат, их явный вид
определяется выражением
tym = {2n)-Hspls+i\pQ + v)-sVm(pv р2, р3; ^.......|2s). (216)
[Иначе говоря, из всего разложения (21а) остается лишь член с / = 0.]
Этот результат вряд ли можно назвать удивительным ').
Оператор координат вычисляется точно так же, как и в случае нулевого
спина, и имеет вид
n2s + '/2 / Я \ "-'/а
(22)
При s = 7г эта формула согласуется с результатом Прайса [4] [см. оператор
q в его работе, случай "е"].
Роль проекционного оператора Е в выражении (22) сводится лишь к
подавлению той части волновой функции, которая отвечает отрицательной
энергии, и выделению той ее части, которая соответствует только
положительной энергии. Поскольку оператор qh действует лишь на волновые
функции,
') Доказательство равенства (216) проводится следующим образом. Сначала
рассматривают выражение фт ± вф_т и показывают, что функцию fi, входящую
в разложение (21а), можно считать вещественной. Затем функцию фт делят на
две части: ф°, содержащую ту часть суммы (21а), которая отвечает / "= 0,
и фг, включающую в себя все остальное. Как было показано выше, функция ф°
при р = 0 отлична от нуля, в то время как фг при р - 0 обращается в нуль.
Далее доказывают, что не существует области, в которой функция фг была бы
отлична от нуля и много меньше ф°. Из непрерывности функций ф° и фг
следовало бы, что функция фг тождественно равна нулю. Подставляя затем ф°
+ фг вместо ф в (16), доказывают, что в любой области квадратом фг можно
пренебречь по сравнению с остальными членами. Правая часть равенства
(16), а также квадрат ф° не зависят от О и ср. Следовательно, член,
содержащий произведение ф°фг, также не должен зависеть от О и ф. Но этот
член имеет вид суммы выражений PIm(.'&,(p)fofi и не зависит от О и ф лишь
в том случае, если все /( при I ;> Отравны нулю (величина fo отлична от
нуля по предположению). Итак, ft всюду равны нулю, и в разложении (21а)
остается лишь один член с / = 0. Его можно вычислить, взяв квадратный
корень из обеих частей равенства (16).
290
Дополнение
определенные на положительной поле гиперболоида, второй оператор Е
(стоящий после множителя Р~$/(р0 +p)s), строго говоря, можно было бы
опустить. При вычислении матричного элемента между двумя волновыми
функциями, с чисто положительными значениями энергии можно было бы
опустить оба проекционных оператора Е [5]. Множители, содержащие р0<
необходимы для эрмитовости оператора id/dpf из-за множителя Pq2s_1 в
элементе объема (15) оператор будет обладать нужными свойствами, если
после умножения на р^+'1г справа и деления на тот же множитель слева он
приобретет вид эрмитова
2s
оператора. Оператор (1 + у(r)) - проекционный, т. е. совпа-
а'= 1
дает со своим квадратом. Пользуясь этим свойством, его можно было бы
ввести еще раз перед вторым оператором Е, от чего все выражение (22)
приобрело бы несколько большую симметрию. Оператор координаты (И) для
частицы Клейна - Гордона является частным случаем более общего выражения
(22) и получается из него при s = 0.
Произведя над каким-нибудь состоянием сдвиг на а и измерив затем
координату хк, мы получаем результат, на ак превышающий результат
измерения той же координаты xh до сдвига. Отсюда при а0 = 0 находим
соотношение
Т( - a) qkT (а) = qk + ак. (23)
Подставляя вместо Т(а) выражение (6) и переходя к пределу при очень малых
ак, имеем
(.qkpl - plqk) Ф = - йыф, (23а)
где ф - любая допустимая волновая функция. В действителш ности, с помощью
прямых вычислений, используя тождество
Еа (! + Y°a) Еа = р0-' (р0 + ц) Еа, (24)
мы получаем коммутационное соотношение
qkpl-plqk=-ibklE. (25)
Коммутационные соотношения операторов qh и ро имеют обычный вид,
поскольку р0 зависит лишь от рк. Операторы qh служат компонентами
векторного оператора в трехмерном пространстве, поэтому их коммутационные
соотношения с пространственными компонентами Мм также не отличаются от
обычных.
В заключение мы хотели бы заметить, что аналогичное рассмотрение было
проведено и для уравнений с нулевой массой
22. Локализованные состояния элементарных систем 291
покоя. В случае спина 0 и V2 мы снова получили выражения для
локализованных систем, совпадающие с формулами (9) и (216). Однако для
более высоких, но конечных значений спина s, начиная с i = 1 (уравнения
Максвелла), оказалось, что локализованные состояния в указанном выше
смысле не существуют. Это обстоятельство мы считаем неудовлетворительным,
хотя и не особенно неожиданным. Не вполне удовлетворительна также и
ситуация с бесконечным спином.
ОБСУЖДЕНИЕ ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ
Первое, что следовало бы выяснить, - это причина, по которой наши
локализованные состояния вопреки общепринятым представлениям не являются
б-функциями в координатном пространстве. Происходит это, разумеется,
