Этюды о симметрии - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
X exp (- i{x, р}) AEaAEaAEi f (2)
Р о
где
{х, р} - х°р° - Xх рх - х2р2 - л:3р3 =
= х0р0-х1р1-х2р2~х3р^ (3)
- лоренц-инвариантное скалярное произведение. На протяжении всей работы
ковариантные и контравариантные компоненты равны для временной (индекс 0)
координаты и равны по величине, но противоположны по знаку для
пространственных координат (индексы 1, 2, 3). Это правило неизменно
соблюдается при поднятии и опускании всех индексов. Кроме того, для
скалярного произведения двух пространственно-подобных векторов мы
используем обозначение (х,р), в силу чего, например,
{х, р} = х°р°-(х, р).
При любом целом j функции
Pin (&, ф)/(р) (т= -/,-/+ 1, 1, /) (4)
(их всего 2/ + 1; р, О и ф - сферические координаты в пространстве р\,
р2, рз; / - произвольная функция) образуют линейные наборы, инвариантные
относительно поворотов вокруг точки р\ = р2 = рз = 0. Функции Pin - это
не что иное, как хорошо известные сферические гармоники. Линейные наборы
(4) инвариантны также и относительно инверсии, т. е. замены pi, р2, рз на
-р\, -р2, -рз. Разумеется, свойствами инвариантности относительно
поворотов и инверсии обладает не только каждый набор (4) в отдельности,
но и сумма произвольного числа таких наборов, если наряду с каждой
функцией (4) мы будем брать все 2j + 1 функций и их линейные комбинации.
Множитель f(p) при разных j может быть различным.
282
Дополнение
При обращении времени функция ф(рь р2, рз) переходит
[13] в функцию
0Ф(Р1" Р2> Рз) = Ф*(~Р1> ~Р2, - Рз)- (5)
Под обращением времени мы понимаем операцию, которая волновую функцию ф
переводит в волновую функцию ¦й'(ф), обладающую следующим свойством:
любой эксперимент, проводимый над дф в момент времени -t, приводит в
точности к такому же результату, к которому он привел бы, если бы его
производили над функцией ф в момент времени t. Из соотношения (5) и
постулата "б" следует, что если функции Рт{Ф, ф)f(p) локализованы в
начале координат, то и наборы PLm (б-, ф) f (р), т. е. Р+т (•&, ф) f {р),
также локализованы. То же верно для суммы и разности соответствующих пар
функций. Отсюда ясно, что множитель f(p), не ограничивая общности, можно
считать вещественным.
Действие оператора сдвига в импульсном пространстве сводится просто к
умножению на ехр(-г{а, р}):
Г(а)ф = ехр(-г {а, р})ф. (6)
Нам понадобятся лишь чисто пространственно-подобные сдвиги, т. е. мы
предполагаем, что а0 = 0. Из принятого нами постулата "в" для таких
сдвигов следует, что "сдвинутая" функция ехр (г (а, р))ф ортогональна ф,
если функция ф локализована, или что
j / { I Ф (Ри Ръ Рз) I2 ехр [г (а,р, + а2р2 + а3р3)] dP'dP*dPs = о (6а)
для любого ненулевого вектора а. Это означает, что в разложение функции
|ф|2/ро в интеграл Фурье входит лишь та ее часть, которая отвечает
нулевому волновому числу. Следовательно, |ф|2/ро есть константа, и модуль
|ф| пропорционален р'12. Сравнивая полученный результат с функциями (4),
мы видим, что допустимым является лишь значение / = 0. Поскольку ранее
было показано, что множитель f(p) можно считать вещественным, мы получаем
ф2 = (2я)~3 р0. (7)
Как и ожидалось, скалярный квадрат (ф, ф) бесконечен, и локализованная
функция ф принадлежит непрерывному спектру.
Если ограничиться одними лишь постулатами "а" - "в", то функция ф могла
бы быть разрывной, и при некотором р выполнялось бы соотношение
+ pf = (р2 + ц2)7*,
22. Локализованные состояния элементарных систем
283
а при всех остальных р - соотношение
pV.= _(p2 + Ii2)V..
Однако независимо от выбора ф при сохранении равенства (7) в
рассматриваемом нами случае существует лишь одно состояние,
локализованное в начале координат. Действительно, если бы нашлось два
таких состояния фч и ф2, то ф1 должно было бы быть ортогональным не
только ф! ехр (-i {а, р}), но и фг ехр (-i {а, р}), откуда следует, что
помимо соотношения |-ф |2 - ро выполняется также и соотношение Ф[ф2~Р0'
и> таким образом, функция фч пропорциональна функции ф2.
Чтобы исключить из рассмотрения разрывные функции ф, мы вводим
дополнительное условие регулярности: отношение
(ЛГ>*фд. М°*ф")
(Ф", Ф") { '
остается конечным, когда нормированные волновые функции ф" стремятся к ф;
М0и здесь означает инфинитезимальный оператор собственного преобразования
Лоренца в плоскости x°xh [12]:
M°k = ip°-?-. (8а)
Новый постулат позволяет исключить все разрывные функции ф, и для
волновой функции единственного состояния, локализованного в начале
координат, мы получаем выражение
ф = (2л )~s/*p4\ (9)
Требование регулярности "г" в действительности сводится к требованию
ограниченности отношения (8) для всех Мм. Однако если вместо Мйк в
выражение (8) подставить операторы М23, М31 или М12, то вновь полученные
выражения автоматически окажутся ограниченными: их сумма равна /(/ + 1).
Следовательно, требование, чтобы операторы М23, А131 и М12 были применимы
к функции ф, не приводит к новому условию.
В координатном пространстве локализованная волновая функция определяется
