Этюды о симметрии - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Действуя оператором К на правую и левую части формулы преобразования (5)
для фц, получаем [матрица 5 считается приведенной к виду (18а)]
<ЭяФд = 2 D(R)vp$v, 0Ri9,iK% = S D{R)(_v) (_ )i2v/C\l3v. (19)
V V
Формулы (19) означают, что функция 12^/Сфр. принадлежит (-р)-й строке
представления D(R). Введем функции и и о:
Ыц = Фи+Г2|1/Сф-|л; = I (фц - Г^/СФ-ц). (20)
Ясно, что под действием пространственных преобразований R и обращения
времени К функции и преобразуются только через и, а функции v - только
через v. Следовательно, при нечетном числе электронов для собственных
значений, отвечающих представлениям типа "в", никакого дополнительного
вырождения не происходит. При этом, не ограничивая общности, можно
считать, что собственные функции удовлетворяют соотношению
К% + = 0, (21)
справедливому также для функций и я v.
Чтобы продемонстрировать, как следует пользоваться этим соотношением,
рассмотрим матричные элементы мнимого эрмитова оператора, связывающие
собственные функции, отвечающие собственному значению типа "в":
(Фи> В^)=-(ВКЧ>м, К%)=-(~1 Дф-v)*- (22)
Если оператор В обладает полной симметрией задачи, то все матричные
элементы (22) обращаются в нуль. При р ф v это происходит потому, что
функции фц и фу принадлежат различным строкам представления D\ при р = v
- по иной причине. При р = v все матричные элементы должны быть равными
и, как видно из формулы (22), мнимыми. В то же время в силу эрмитовости
оператора В они должны быть вещественными.
¦) Хотя целочисленные представления трехмерной группы вращений и
относятся к представлениям типа "а", обычно их принято выбирать в форме,
для которой справедливы соотношения (16а).
21. Об операции обращения времени в квантовой механике 275
Полученное противоречие доказывает, что при р = v все матричные элементы
равны нулю. Следовательно, среднее значение мнимого эрмитова оператора,
обладающего полной симметрией задачи, для всех стационарных состояний
равно нулю.
Следует обратить внимание на то, что при четном числе электронов случай
"а" эквивалентен случаю "в" при нечетном числе электронов и наоборот. Это
связано с тем, что представления группы преобразований QR при четном
числе электронов принадлежат к типу "а", а при нечетном - к типу "в".
Если система содержит не только электроны, но еще и другие частицы, то
справедливо аналогичное утверждение, в котором вместо "четного числа
электронов" должно стоять "четное число частиц с полуцелым спином".
9. Подчеркнем еще раз различие в интерпретации "обращения времени" и
обычных пространственных симметрий. Оно связано с нелинейностью операции,
обращающей время, входящее в волновую функцию. Основной предпосылкой
настоящей работы послужило замечание об инвариантности всей задачи
относительно преобразования t' = -t.
Если же задача не инвариантна относительно преобразования f - -/, то
преобразования, содержащие обращение времени, тем не менее существуют.
Например, однородное магнитное поле обладает элементом симметрии:
отражение в плоскости, перпендикулярной магнитному полю, с одновременным
изменением знака t. В силу этой симметрии собственные функции (если
отбросить множитель вещественны.
В тех двух подходах к применению теоретико-групповых соображений, о
которых мы упоминали в п. 1, обращение времени проявляется по-разному.
Так, при втором подходе (т. е. при нулевом полном импульсе системы)
обращение времени обусловливает существование невырожденных уровней с
особенно простыми свойствами (имеется в виду, что число частиц с
полуцелым спином четно). Например, средний магнитный момент такой системы
в любом направлении равен нулю. Это свойство, разумеется, не следует из
того, что полный угловой момент равен нулю, поскольку в систему входят
частицы не только одного сорта. Наоборот, при нечетном числе частиц не
существует невырожденных состояний.
При первом подходе (т. е. при фиксированных ядрах) симметрия также
позволяет получать различные результаты, например установить, что средний
угловой момент электронов равен нулю при совершенно несимметричной
конфигурации ядра (и четном числе электронов). Этот результат, по мнению
Ван-Флека, играет особенно важную роль в теории диамагнетизма большинства
веществ, поскольку магнитный момент, обусловленный движением ядер, очень
мал.
276
Дополнение
ЛИТЕРАТУРА
1. Kramers Н. A., Proc. Коп. Nederl. Akad. Weten., Amsterdam, 33, 959
(1930),
2. van Vleck J. H., Electric and magnetic susceptibilities, Oxford, 1932.
3. Breit G" Phys. Rev., 34, 553 (1929).
4. Born М., Oppenheimer I. R., Ann. Phys., 84, 457 (1927).
5. Onsager L" Phys. Rev., 38, 2265 (1931).
6. Frobenius G., Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss., 186 (1906),
7. Schur /., Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss., 196 (1906).
8. Pauli W" Zs. Phys., 43, 601 (1927).
9. Wigner E., Gruppentheorie und ihre Anwendungen auf die Quantenmechanik
der Atomspektren, Friedr. Vieweg und Sohn, Braunschweig, 1931. (Имеется
перевод: Вигнер ?., Теория групп и ее приложения к квантовомеханической
