Этюды о симметрии - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
') Понятие кронекеровского произведения было неявно использовано при
описании физической системы, состоящей из двух подсистем, еще в работах
Шредингера (см., например, [36]). В явном и точном виде это понятие
сформулировал фон Нейман [17].
18. Принципы симметрии в старой и новой физике
229
ставлению, и что за неприводимые представления при этом возникнут?
По-видимому, будет полезно наметить здесь общий ход рас-суждений,
позволивший дать ответ на эти вопросы. Наиболее важной группой, к которой
можно применять излагаемые ниже соображения (и к которой они в
действительности были применены), и на этот раз является группа 0(3).
Кто-то сказал, что в отличие от математика физик живет в трехмерном
пространстве не только физически, но и "мысленно". Группа 0(3)
амбивалентна, т. е. все ее классы сопряженных элементов совпадают с
обратными классами. В силу этого все ее характеры вещественны. В
дальнейшем мы будем предполагать, что все встречающиеся нам характеры
вещественны,' поскольку введение комплексных характеров приводит лишь к
незначительным усложнениям теории. Группа Пуанкаре также амбивалентна, но
некоторые из упоминаемых далее групп неамбивалентны.
Если характеры представлений равны %(а)> %(Ь)> %(с)> . . . , то характер
их прямого произведения равен
2 (г) = %{а) {г) %{Ь) (г) х{с) {г) .... (1)
и кратность, с которой %(v) входит в представление с характером Е, равна
Ny = h~l J E(r)%{v) (г) dr = h~l J X{a) (г) %(Ь) (г) ¦ ¦. %{v){r)dr, (la)
где h - элемент объема группы, если последняя компактна. Если группа
конечна, то h - порядок группы. Величина г означает элемент группы, а /
dr - инвариантное интегрирование по группе для компактных групп и
суммирование по всем элементам группы для конечных групп. Обобщение
последней формулы на случай некомпактных групп представляет собой
интересную проблему. В решении ее, насколько известно, достигнуты большие
успехи, но считать ее полностью решенной пока еще нельзя.
Следует заметить, что в выражение для Nv все сомножители входят
симметрично. Обозначим их через (а, Ь, ..., v). Для случая, когда имеется
всего три сомножителя, т. е. рассматривается разложение кронекеровского
произведения двух представлений, это означает, что произведение а и b
содержит с с таким же коэффициентом, с каким b входит в кронекеровское
произведение а и с или а - в кронекеровское произведение Ь и с.
В случае трех сомножителей вычисление N, как правило, не вызывает никаких
затруднений. В принципе вычисления N достаточно для того, чтобы разложить
кронекеровское произведение любого числа сомножителей. Справедливость
этого
230
Дополнение
утверждения следует из полноты системы характеров, позволяющей
использовать соотношение
%{а) (г) Х{Ь) (Г) = 2 (abv) x,v> (г) . (2)
V
Подставив его в разложение прямого произведения трех сомножителей,
получим
(abed) = (abv) J x(v) (г) Х{с) (г) x{d) (r) dr =(abv) (vcd). (3)
V V
Последняя формула наводит на мысль ввести матрицы Мк:
Ма$ = (соф). (4)
Матрицы Мк симметричны, а их элементами служат целые неотрицательные
числа. Строки и столбцы матриц М'Л отвечают неприводимым представлениям.
Все матрицы Мк, как видно из выражения для (abed), коммутируют друг с
другом. Справедливо тождество
(abc ... v) = (МЬМС . . . )av. (5)
Поскольку матрицы М в правой части можно переставлять, левую часть
тождества (5) можно записать в нескольких формах. Ни одна из этих форм не
позволяет получить полную симметрию окончательного выражения, поэтому
найти [отличный от правой части формулы (1а)] общий вид левой части
тождества (5), который был бы симметричен, - дело
отнюдь не лег-
кое.
Возможность разложения кронекеровского произведения двух представлений,
например DM и DMt на какие-то определенные сомножители не отвечает на
главный вопрос, представляющий интерес для физика: как осуществить само
разложение? Разложить кронекеровское произведение представлений на
неприводимые представления - значит преобразовать произведение
пространств представлений DM и Д(Ь) в пространства представлений
неприводимых компонент их кронекеровского произведения. Такое разложение
неоднократно встречается в приложениях и особенно подробно исследовано
для трехмерной группы вращений.
Первая проблема, с которой мы сталкиваемся при решении задачи о
разложении, - это единственность искомого преобразования. Последняя в
свою очередь зависит от единственности базисных векторов в двух
пространствах, которые нам предстоит преобразовать друг в друга. Если
базисные векторы в DM и DM определены однозначно, базис прямого
произведения этих двух пространств также однозначно определен. Иначе об-
IS. Принципы симметрии в старой и новой физике
стоит дело в том случае, если какое-нибудь представление входит в
кронекеровское произведение представлений DW и с кратностью, большей 1:
тогда уже не всякий базисный вектор пространства произведения можно
просто отождествить с каким-то вполне определенным базисным вектором
