Этюды о симметрии - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
квантовой теории уравнения, эквивалентные (I), позволяют получить законы
сохранения, хотя их интерпретация становится отнюдь не очевидной.
Если справедливы уравнения (I), то две системы координат, равномерно
движущиеся относительно друг друга, перестают быть эквивалентными, и,
отправляясь от уравнений (I), мы не сможем построить теорию
относительности. Тем не менее свойства симметрии пространства сами по
себе остались неизменными: сохранилась его однородность, изотропность.
Сохранилась также и однородность времени. Следовательно, можно ожидать
существования некоего закона сохранения
') Из журнала: Progr. Thecr. Phys., 11, 437 (1954).
242
Дополнение
энергии (связанного с однородностью времени), а также законов сохранения
импульса и углового момента. В нашей механике, основанной на уравнениях
(1), эти ожидания выполняются лишь отчасти: если "потенциал" f
инвариантен относительно сдвигов в пространстве, то из уравнений (1)
следует закон сохранения импульса, который гласит: "центр масс
изолированной системы находится в состоянии покоя", или
т^х 1 + т2х2 + ... + тпхп = const. (2)
Аналогичные равенства выполняются и для у- и 2-компонент. Что же касается
законов сохранения энергии и углового момента, то их в нашей механике не
существует. Этот вывод ничуть не противоречит результатам Гамеля [2] и
Энгеля [З]1). Связь между законами сохранения и симметрией в обычной
механике основана на гамильтоновой формулировке последней, а уравнения
движения (1) этому формализму не удовлетворяют.
Квантовый аналог уравнений (1) можно вывести с помощью принципа Эренфеста
[5]. Согласно этому принципу, из уравнения
-|ч'(х" •••- Zn) = Q4 (3)
следует, что движение центра масс
ха = / 1^12 xadx
(J означает интегрирование по всему конфигурацион-
ному пространству) подчиняется уравнениям (1), если заменить в них
производные df/dxa средними значениями. Таким образом, квантовые
уравнения движения центра масс в нашей теории будут иметь вид
та-^г = та{ха [WQW + V (QV)*] ЧГЧ dx. (За)
Из условия независимости полной вероятности J | *Г |2 dx от
времени, так же как и в обычной квантовой механике, вытекает, что
оператор Q антиэрмитов. Следовательно, выражение, стоящее после первого
знака равенства в (За), можно преобразовать к виду
та J 'F* [XaQY - Q (*"?)] dx.
') См. также работу Бессель-Хагена [4].
19. Законы сохранения в классической и квантовой физике 243
Поскольку полученное выражение должно быть равно правой части (За) при
всех Ч1*, должно выполняться равенство
*"<ЗЧ'-(3*"Ч'_ -J-JLy. (36)
Последнее же справедливо при всех Ч'1, если
!"¦*"!(3в>
Наиболее общий антиэрмитов оператор Q, удовлетворяющий уравнению (За) и
аналогичным уравнениям для у- и г-компонент, имеет вид
Г. V 1 / df д , df д , df д , 1 . Л , .
Q ^ "а ( дха дха ^ дУа дУа ^ dZa dza 2 "V ( }
Вещественная функция g должна быть инвариантной относительно переносов и
поворотов, т. е. должна зависеть лишь от расстояний между частицами, а в
остальном она совершенно произвольна.
Исходя из уравнения (3) и выражения (4) для оператора Q, нетрудно вывести
квантовомеханические законы сохранения. Закон сохранения энергии можно
записать в виде
Е = ih { Ч'* [J] J- (grada f- grada Ч^-f 1 Y Aj) + igW] dr, (5)
а закон сохранения углового момента - в виде
Ма = ih f Ч'* J] (ха уа -?-) V dr. (6)
^ У а а '
Последнее выражение совпадает с законом сохранения углового момента в
обычной квантовой механике.
Связь между законами сохранения и симметрией в квантовой механике отнюдь
не однозначна. В отличие от ситуации, с которой мы встретились в нашей
классической (неквантовой) механике, в нашей квантовой механике мы
сталкиваемся с "избытком" законов сохранения. Помимо сохранения
квантового импульса
(?)
в ней имеется аналог закона сохранения (2):
J(Ema*")4,'1*r*. (7 а)
Модифицированный закон Ньютона (1), которым мы воспользовались для
демонстрации существующей в квантовой
244
Дополнение
теории непосредственной связи между законами сохранения и симметрией,
является самым простейшим из возможных законов движения. Как уже
говорилось, этот закон движения исключает любую попытку ввести принцип,
аналогичный принципу относительности. Небезынтересно заметить, что в
рассматриваемом нами случае классический закон движения строго
выполняется и в квантовой теории. Из уравнений (3) и выражения (4)
следует
д|ЧЧг_у 1
dt т"
A+d/dl,w ,2\+d/dL^V\
дха \дха' > ) дуа \дуа' } дга \ дга
(8)
Это - уравнение неразрывности для частиц с компонентами скорости
(df/dxa)/ma, находящихся в точке, координаты которой служат аргументами
функции /. Уравнение (8) выражает тот факт, что скорость изменения во
времени величины 14хj2, т. е. плотности частиц, равна взятой со знаком
минус дивергенции тока. Последняя же величина равна произведению
плотности 1^12 и скорости. Хорошо известно, что не только уравнение (8)
является следствием уравнений движения, но и, наоборот, уравнения
движения (1) можно вывести из уравнения (8), выполняющегося для системы