Этюды о симметрии - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
лишь состояния с ортогональными векторами состояния.
Прежде чем сформулировать математические проблемы, к которым приводит
линейность векторов состояния, я хотел бы несколько дополнить
нарисованную выше картину. До сих пор мы рассматривали лишь состояния,
получающиеся из некоторого состояния при вращениях. Что произойдет, если
мы будем переводить друг в друга состояния с различными скоростями? Пусть
атом водорода находится сначала в состоянии покоя, а затем движется с
различными скоростями. Из инвариантности относительно преобразований
Галилея или Пуанкаре следует, что если система существует в состоянии
покоя, то ее можно привести в состояние равномерного прямолинейного
движения с любой скоростью и в любом направлении. Существование одного
заданного состояния вновь вынуждает нас, так же как и в классической
теории, постулировать существование бесконечно большого числа других
состояний. Верно ли, что в квантовой механике это бесконечное множество
состояний или, точнее, множество отвечающих им векторов состояний можно
представить в виде линейных комбинаций меньшего числа состояний?
Ответ на этот раз должен быть отрицательным. Действительно, для любых
двух состояний с различными скоростями векторы состояний ортогональны. С
точки зрения физики такой результат естествен (экспериментально мы можем
отличать состояния с различными скоростями, но не можем отличать
состояния с различной ориентацией орбит). Тем не менее столь сильное
различие между следствиями двух типов преобразований симметрии - вращений
в пространстве и собственных преобразований Галилея или Лоренца - не
может не вызывать удивления.
Рассмотрим наконец последний тип преобразований Галилея: сдвиги в
пространстве и во времени. С этими преобразованиями ситуация очень
проста: если скорость задана, то состояние инвариантно относительно
сдвигов. Это прямое следствие соотношения неопределенности Гейзенберга.
Если требуется получить состояние, локализованное в определенный момент
времени в окрестности некоторой точки, нужно построить суИерИозицию
состояний с различными скоростями - состояний, которые, как мы только что
узнали, ортогональны друг другу.
Сказанное ранее на языке, привычном для физика, полезно повторить,
прибегнув к точной математической терминологии. В классической механике
состояние системы определяется
224
Дополнение
положением точки в фазовом пространстве. Если система состоит из одной
частицы, то ее фазовое пространство шестимерно: три координаты отвечают
пространственным координатам частицы и три - компонентам ее скорости.
Размерность фазового пространства системы, состоящей из большего числа
частиц, соответственно больше1). Преобразования Галилея и Пуанкаре - это
линейные неоднородные преобразования в фазовом пространстве. В квантовой
механике состояние любой системы определяется вектором в бесконечномерном
гильбертовом пространстве. Действующие в этом пространстве преобразования
симметрии линейны, а фактически даже унитарны. Поскольку унитарное
преобразование, отвечающее произведению двух преобразований симметрии (по
крайней мере с точностью до несущественного множителя), совпадает с
произведением унитарных преобразований, соответствующих каждому из
сомножителей, унитарные преобразования, действующие в гильбертовом
пространстве состояний, образуют (по крайней мере с точностью до
множителя) унитарное представление группы симметрии. В нерелятивистских
теориях группой симметрии служит группа Галилея, в релятивистских -
группа Пуанкаре. Некоторые внешние воздействия иногда понижают полную
группу симметрии пространства-времени до какой-нибудь из подгрупп
названных групп. Так, при движении электронов в кристалле группа
симметрии совпадает с одной из 230 пространственных групп.
Резкое различие между классическими и квантовыми преобразованиями
симметрии объясняется отнюдь не различием между линейными неоднородными
преобразованиями, с одной стороны, и унитарными преобразованиями - с
другой. Столь сильное различие обусловлено прежде всего тем, что в
классической теории преобразование симметрии всегда одно и то же или,
точнее, зависит лишь от числа частиц, координаты и скорости которых мы
преобразуем. В квантовой же теории преобразования симметрии (унитарные
представления группы симметрии) для разных систем различны и определяют
многие свойства системы. Кроме того, сложение двух состояний, не имеющее
смысла в классической теории, обретает смысл в квантовой теории.
Пространство состояний квантовой теории - ее гильбертово пространство -
является линейным в подлинном смысле этого слова!
Первый из приведенных выше аргументов во многом объясняет интерес,
проявляемый физиками к унитарным представлениям. Как показал Баргман
[18], унитарные представления
>) "Фазовое пространство" как математическое понятие впервые ввел Гиббс
[3].
18. Принципы симметрии в старой и новой физике
225
группы Галилея в неявном виде использовались еще в теории Шредингера.
