Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
вакууме есть изотропные поверхности. В частности, до тех пор пока
световые волны можно рассматривать как ударные, они будут изотропными
поверхностями. Поскольку, далее, бихарактеристики представляют собой
изотропные геодезические (см. гл. V, § 7), это оправдывает предположения,
касающиеся геодезических для фотонов (фотоны, как точечные частицы, лежат
вне рамок теории поля).
Если допустить далее, что гиперповерхность х* - 0 не является изотропной
(g44 Ф 0), то лемма 2 (см. гл. V, § 4) утверждает, что уравнения Zl} = 0
эквивалентны уравнениям
Zap-y?a3Z? = 0, (10.49)
Z\ ,j = 0 (10.50)
при начальном условии
Z* - 0 на х4 = 0. (10.51)
!) О других исследованиях проблемы Коши см. работы Фуре-Брюа [355-359] и
Фам Мау Кана [910, 913].
§ 2. Проблема Коши для некогерентной заряженной жидкости 305
Теперь (10.49) совпадает с уравнением
Rafi = - И (^ар - ~2 ?a(Fh') ' (10.52)
a (10,50) -с условием
Т% = 0. (10.53)
Подставляя (10.40) в (10.53) и используя уравнения Максвелла в виде
(10.41), получаем, согласно (10.30),
0. (10.54)
Начальное условие (10.51) принимает вид [из гл. I, § 9 мы знаем, что G4
есть данные Коши (сокращенно ДК)]
Gf + i + кЕ\ - 0 на х4 = 0. (10.55)
Теперь мы имеем в своем распоряжении начальные условия, уравне-
ния (10.52) и (10.54) и уравнения Максвелла
= Д F*% = 0. (10.56)
Независимо от основного хода наших рассуждений, представляет
интерес тот факт, что (10.56) эквивалентны уравнениям
F% = Ja, 4 = 0, f*a(, = 0 О0-57)
при начальных условиях
F% = J\ F*% = 0 на х4 = 0. (10.58)
(Легко видеть, что эти условия включают только данные Коши.)
Очевидно,
(10.56) содержат в себе (10.57) и (10.58). Для доказательства
этого утвер-
ждения необходимо показать лишь, что условия (10.58) имеют место не
только в начальный, но и в любой момент времени. Тогда в силу тождества
= 0 (10.59)
уравнения (10.57) означают, что
(Н,-Д)|г = 0, (10.60)
и, таким образом,
4=-(П-Л,"-- Tfci (Fh\,- - Jh)=- r4i (F4{;- - У4). (10.61)
При начальных условиях (10.58) существует единственное решение
F%-J* = 0. (10.62)
Тем самым установлено, что первое условие (10.58) выполняется во все
моменты времени. Аналогичным образом можно показать справедливость
подобного утверждения и для второго условия (10.58). Итак, (10.56)
эквивалентны (10.57) и (10.58).
Выберем данные Коши так, чтобы удовлетворить (10.55) и (10.58) на
гиперповерхности х4 = 0, и попытаемся разрешить уравнения (10.52),
(10.54) и (10.57) относительно величин (10.47). Теперь
gap,44, найденные из (10.52), однозначным образом
выражаются через данные Коши,
а с помощью (10.57) можно определить
Fa, Л. 4"4- (10.63)
20 Дж. Л. Синг
306
Гл. X. Электромагнетизм
Поскольку ?а4 и Fa>, включают все Fijt нам остается лишь решить (10.54)
относительно v,4 и У". Получаем
у.4(У4)2 = ДК, vA ^4= -v.4 JaJ* + HK. (10.64)
Если У4 = 0. то решение для v,4 неоднозначно, и, следовательно, ударной
волной (характеристикой) окажется любое трехмерное пространство,
построенное из мировых линий тока. Однако если трехмерное пространство х4
= 0 таковым не является, то J* Ф 0. и1) уравнения (10.64) дают
единственное решение для v. 4 и , так что проблема Коши оказывается
регулярной и выбранные нами данные Коши, подчиняющиеся указанным
условиям, дают единственное решение в окрестности дг* = 0.
Для вакуума (У4 = 0) приведенное выше доказательство видоизменяется и
упрощается, но мы не будем на нем останавливаться; проблема Коши
регулярна, если гиперповерхность х4 = 0 не является изотропной.
Случай вакуума в некоторых отношениях представляет больший интерес, чем
случай заряженной жидкости. Заметим, что уравнения поля в этом случае
имеют вид
Gi3= -хЕф П=0, F*% = 0, Ci(g) = 0, (10.65)
где Е+ определены в (10.40). Поскольку теперь
Е% = 0, (10.66)
число независимых уравнений в (10.65) равно 6 +3 + 3 +4= 16, что
соответствует числу неизвестных (giJ-,-Fij).
Так как ?i = 0, первое уравнение в (10.65) можно записать также в виде
Ru^-xEijt (10.67)
и, следовательно,
Я = 0, (10.68)
так что для электромагнитного поля в вакууме инвариант кривизны равен
нулю.
§ 3. Интегральные теоремы электромагнетизма
Пусть Xi3 - некоторы й кососимметричный тензор, а Х?3 - дуальный к нему,
так что, согласно (10.7) и (10.8),
Х"ч = 1 r]i3'kmXkm, Х* = -J л,ljkmXkm,
' , , (10.69)
X" = - 4- r)i}hmX*km, Xi} = - f r,i}.hmX*km>
Следует помнить, что ковариантный тензор получен из контрвариантного
T]i,fem посредством опускания индексов сбычным образом, т.
е.
с помощью gi}. Заметим, что дважды дуальный тензор равен начальному
тензору с обратным знаком:
X**il = |T]i^mA:*m = |T]ii/!mT]ftmaLXaI,== (J0>70)
Общее правило, касающееся изменений знака, состоит в следующем2): заменяя
величину со звездочками ка величину (ту же) без звездочек,
*) Здесь предполагается, что v ф 0.
2) Это правило предполагает, что индексы имеют одну природу и,
следовательно, гребуется операция "две звездочки". -Прим. ред.
§ 3. Интегральные теоремы электромагнетизма
