Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
еще одна, значительно более простая, а именно
0, (10.94)
v8
где интеграл взят по произвольному замкнутому трехмерному пространству, a
N1- единичный вектор нормали. Можно говорить, что это соотношение
описывает сохранение электрического заряда. Оно является прямым
следствием того, что 7|i= 0.
§ 4. Пространства электровакуума
Рассмотрим пространство, состоящее из внутренней области 1 (она может
состоять из нескольких мировых трубок) и внешней области Е. Область Е
свободна от материи, но содержит электромагнитное поле. Чтобы подчеркнуть
это обстоятельство, мы можем говорить о пространстве электровакуума. В
области Е мы имеем только симметричный метрический тензор gi} и
кососимметричный электромагнитный тензор Fijy удовлетворяющие уравнениям
поля
G"=-x?ljt х = 8г, (10.95)
и уравнениям Максвелла
Е%= 0, Е*% = 0,
(10.96)
310
Гл. X. Электромагнетизм
где
Eis = l?bFaiFbj - -i gijFabFa\ (10.97)
Поскольку ?{=0, уравнения поля (10.95) эквивалентны уравнениям
(10.98)
Вопрос относительно / мы оставляем открытым.
Обратимся теперь к рассмотрению статического пространства, потребовав,
чтобы, как и в (8.161), метрическая форма имела вид
Ф = gap dxa dx& - V2 (dx*)2, (10.99)
где gap и V не зависят от х4. Мы удовлетворим второму уравнению (10.96),
положив
^ = Фм-Фм- (10.100)
Выберем фа = 0 и примем, что ср4 не зависит от х*. Тогда, полагая для
простоты ф4 = ф, получаем
Fai - ф,а > Fap = 0. (10.101)
Физическая интерпретация такой ситуации оказывается довольно реалистичной.
Можно представить себе единственное тяжелое тело, несущее
на себе электрический заряд, или (что менее реально) несколько таких тел,
допуская, что их гравитационное притяжение уравновешено
электростатическим отталкиванием. Поменяв ролями Fи и F*j, мы придем к
случаю намагниченного тяжелого тела.
Чтобы исследовать Ё, можно воспользоваться вычислениями, проделанными в
гл. VIII, § 5. Из (10.101) получаем (черта означает, что соответствующие
величины относятся к пространству)
Fa4 = - V2IaVe. Fap = 0; (10.102)
с помощью (10.97) находим
Ёсф = V2 gapAx(p - ф,аф,р) ,
. (10.103)
Ёа4 = 0, ?44=yA^.
Тогда в силу [8.164] уравнения поля гласят:
^сф = ^аЭ + ^'1У||ар==хУ2(^ф>аф,р-^аЭД1ф^ , (10.104)
- #44 - УЛ2У = -^-хД1ф, (10.105)
где две вертикальные черты означают ковариантное дифференцирование по gap
( = gap)- в силу (10.11) имеем
^ (r=lFV) (1°-106>
и, следовательно, удовлетворяются тождественно все уравнения Максвелла
(10.96), за исключением одного, которое имеет вид
УД2ф-^У>аф,р =0. (10.107)
Наша главная задача теперь состоит в том, чтобы найти восемь
величин gap, V, ф, удовлетворяющих восьми уравнениям в (10.104),
(10.105)
и (10.107).
Начиная с этого момента мы ограничим наше внимание только решениями, в
которых V есть функция ф, т. е. поверхности уровней V и ф
§ 4. Пространства электрсвакуума
311
совпадают (Вейль [1350], Мажумдар [686 - 689], Папапетру [854], Бон-нор
[71, 72])х). Тогда, полагая dV/dq> = V' и d2V/d<f2 = Vя, имеем
У,а = У'ф,а, У||0р = У.'ф||ар + У"ф,аф,р A1V = V'iA1<v, A2K = V'A^ +
V"A^, и уравнения (10.105)*и (10.107) принимают вид
^'Д>ф + (у^'-ух)д1ф = 0, (10.109)
УД2Ф - У'А,ф = 0. (10.110)
Исключая из этих уравнений первые члены и замечая, что Д^ ф 0 (в
противном случае электромагнитное поле было бы равно нулю), получаем для
V (ф) дифференциальное уравнение
W" + V'2 = ±-x. (10.111)
Его общее решение имеет вид
V3 = A + Bq + \%y3, (10.112)
где А и В - произвольные постоянные. При таком выборе V (ф) мы
имеем в (10.104) и (10.110) семь уравнений для семи величин gaр, ф.
Теория становится более интересной, если перейти от статической формы
общего вида (10.99) к частному конформно-статическому виду
0 = U2dxadxa-U-2{dxl)\ (10.113)
так что
?ap = №p, V = U-\ g = U*. (10.114)
Вместо того, чтобы сразу же предположить, что i/ -функция ф, проще
непосредственно применить к (10.113) уравнения поля (10.104) и (10.105) и
уравнение Максвелла (10.107). Но прежде, чем это сделать, вспомним, что
уравнения поля (10.98) записаны с учетом R - 0. Обращаясь к (8.181), мы
видим, что это означает
Uaa = 0. (10.115)
•(Здесь частные производные обозначены индексами без запятой.) Эта
формула дает ключ к решению задачи: функция U является гармонической по
отношению к плоской метрике dxadxa. [Ср. этот результат для
электровакуума с результатом для случая вакуума, когда не U, л У~П
является гармонической, как это видно из (8.177).]
Помня, что операторы А1 и Д2 вычислены относительно gaр, получаем
Д].ф = б^фафс, ga р Дхф = 6арфафа, (10.116)
я так как Vg = U3, то
Д2ф = U~3 (U3ga*Фр)а = U-3 (U(fa)a = U"\aa + U'3Uaфа, ^
§аРКафр= -U-4Ja4a, VAtV = U~4Jв - W*Uм.
Таким образом, с учетом (8.181) уравнения поля (10.104) и (10.105)
записываются в виде
UaUfi - Y aapt/at/a =-i-Xi/4 (фссфр - уйарфофау , (10.118)
UaU" - UUaa = I xU^affa, (10.119)
!) Я многим обязан А. Дэсу за информацию и обсуждение этих работ.
312
Гл. X. Электромагнетизм
(Р=/4
а уравнение Максвелла (10.107) будет иметь вид
