Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
х) Например, в Оксфордском толковом словаре существительному wave (волна)
посвящено около двух страниц и почти столько же соответствующему глаголу.
2) Поскольку техника фурье-преобразований по существу удобна для
рассмотрения лишь линейных дифференциальных уравнений, мы вряд ли будем
использовать ее в применении к анализу нелинейных уравнений общей теории
относительности
§ 1. Плоские гравитационные волны
291
отличить их от объемных (Бонди [68], Бонди, Пирани и Робинсон [70]) *)
гравитационных волн2), к обсуждению которых мы переходим.
На фиг. 84 показана объемная гравитационная волна в пространстве -
времени. Две трехмерные гиперповерхности и' Х2 делят пространство - время
на три области: I, II и III. Материя отсутствует во всем пространстве
(человек, размахивающий дубинкой, был абстракцией!), и повсюду мы имеем
Ri, = 0. (9.1) '
Гравитационное поле в областях I и III отсутствует и, следовательно,
здесь
ь,
jhm'
= о.
(9.2)
*ij=0
*4=0
*уктф0
Iff
*ij=0
*ijkp=a
---------------------x
Фиг. 84. Объемная гравитационная волна# в пространстве - времени.
1^
Область II представляет собой объемную гра- Чкт~ витационную волну. Здесь
по крайней мере одна из компонент тензора Римана не равна нулю, что мы
отметим, записав
Jhm 9. (9.3) --
Напомним, что для допустимых координат gi} и ёц.к непрерывны, a gijikm
могут терпеть разрыв. По соображениям, изложенным ниже, необходимо иметь
три системы допустимых
координат3). Одна покрывает область II и прилегающие к ней части областей
/ и III. Другая покрывает .область I, не обязательно включая границу 2Х.
Третья покрывает область III, не обязательно включая 2г. Как это
требовалось в гл. I, § 1, в областях перекрытия (они лежат в областях I и
III) все преобразования относятся к классу С3 в соответствии с гл. I, §
1.
На и 2а могут существовать необъемные (ударные) гравитационные волны с
разрывами (хотя это не обязательно). Существенная особен-
ность объемной гравитационной волны состоит в существовании неплоской
области, "втиснутой" между двумя плоскими. Гравитационное поле
присутствует во внутренней области и отсутствует вне ее.
Отправной точкой при обсуждении объемных гравитационных волн будет
метрическая форма (8.119):
Ф = gad dx9- dxfi + gAB dxA dxB.
(9.4)
Как и в гл. VIII, § 4, греческие индексы принимают значения 1, 2, а
заглавные- 3, 4. Коэффициенты ga$ есть функции (х3, х4), a g^ постоянные.
Однако мы сразу же конкретизируем вид метрики, требуя, чтобы gaр были
функциями только х4, и полагая
0 1)-
g
¦АВ
Sab :
так что (9.4) принимает вид
: ga$dxadx?' + 2dxadx4.
ф =
(9.5)
(9.6)
9 Во второй из этих статей имеются ссылки на более ранние работы. а)
Вместо терминов "тонкие" (thin) и толстые (thick) волны мы будем
употреблять соответственно "необъемные" и "объемные".- Прим. ред.
*) Если это смутит формалистов, которые предпочли бы покрыть все
пространство - время единой метрикой, предлагаем нм поразмыслить над
случаем сферической поверхности, которая не может быть адекватно покрыта
единственной системой координат.
19*"
292
Г л. IX. Гравитационные волны
Так как
2dx3dxl = d^~dT2.
g = -L-(*" + **), х = <9-7)
то форма (9.6) имеет сигнатуру +2 при условии, что величина
gapdxadx$ положительно определена.
Здесь применимы формулы (8.123). В этом случае, поскольку g** = 0,
отличными от нуля компонентами тензора Римана окажутся
^1414 ~ 2 Ql,i8ol,i 1
Rli2i = 2 ^12,44 "Ь g^g Ql,igo2,i t (9-8)
^2424--------2 ^22,44 + "4 gQ°g Q2,igo2A •
Вычисляя тензор Риччи, находим (и это самое важное), что только одна его
компонента отлична от нуля:
•R44 = 11 ^1414 2g"Ruu - g'22^2424' (9.9)
Рассмотрим теперь структуру объемной плоской гравитационной волны при х4
- const1) на 2Х и 22 (фиг. 85). Задача состоит в том, чтобы найти gxx, gn
и ^22 как функции переменной х4 класса С1 в области II и прилегающих
частях областей I и III, такие, чтобы в I и III выполнялись равенства
•Rl414=0, ^?1424=9, R2424 = 0 (9.10)
и чтобы в области II удовлетворялось уравнение
Я* 4 = 0. (9.11)
причем хотя бы одно из равенств (9.10) должно в области II нарушаться2).
Прежде чем строить конкретный вид объемной гравитационной волны (§ 3),
рассмотрим подробнее ситуацию. Три функции связаны в области II всего
лишь одним уравнением, откуда вытекает возможность подбора большого числа
разнообразных функций gap, для которых не выполняется хотя бы одно из
условий (9.10). Подобрав такие функции, мы имеем определенные значения
gap и gapT* на 2Х и 22. По этим данным Коши уравнения (9.10) определяют
gap в тех частях-областей I и III, которые прилегают к 2Х и 22. Эти части
должны быть плоскими, и мы завершаем построение, выполняя I и III
преобразования координате целью устранения формальных сингулярностей,
появляющихся в решениях Коши. Не говоря уже о таких, например,
возможностях, которые могли бы возникнуть для положительно определенного
характера метрики, приведенные выше соображения указывают на
существование широкого многообразия объемных гравитационных волн.
