Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
307
необходимо изменить знак. Из первого равенства (10.69) следует, что
Х*% = ±г?*тХкти. (10.71)
Умножая на %аЬс и используя (10.6), получаем
%аьЛ = -'(*ab,e + *ta,a + *ea|b). (Ю.72)
Вводя символ циклической перестановки [ ], который определяется
в общем случае соотношением
YLabci = Yabc + Ybca + Ycab, (10.73)
для (10.72) имеем
Tliobc-K*tfj- - ^[оЬ|с]= - ^[аЬ.с]- (10.74)
Согласно установленному выше правилу, имеем также дуальную формулу
'liabcAi = -Xfablc] = -Xfab, с]. (10.75)
В силу этих тождеств ясно, что первую группу уравнений Максвелла (10.9)
можно записать в следующем эквивалентном виде:
А-==Л А. с] = т!<аЬсЛ (10.76) ц
а вторая группа уравнений Максвелла (10.9) эквивалентна уравнению
Fni.ki = 0, F*% = 0. (10.77)
Таким образом, справедливость (10.10) установ- Фиг. 87. Интеграль-лена.
ные теоремы электро-
Пусть V% - замкнутое двумерное простран- магнетизма,
ство в пространстве - времени, ограничивающее некоторое открытое V3 (фиг.
87). По теореме Стокса (1.241)
§ Fdx1' = J FijtkdxtJk,
* i 7 i k (ia78)
§ F*jdxl1 = $ Ffj'kdx1 . v2 v8
Вследствие кососимметричности Ftj, F*, и dxilk эти соотношения можно
записать в следующем виде:
$ dx" = 1 J (Fijf h + Fih, ,+ Fbi,,) dx*",
Vp , lS (Ю.79)
$ Ft, dx'' = 1 J (Ft,. h + Ftk. i + F*hi,,) dxiih. v2 Vs
В этих интегралах F{j произвольны. Если мы теперь подставим сюда
уравнения Максвелла, то получим две интегральные теоремы
электромагнетизма:
ф FiydT1; = 0, (10.80)
v2
^ Ft, dxli = 1 J r]aijkJadxiih. (10.81)
v2 Vn
20*
308
Гл. X. Электромагнетизм
(10.83)
Bml' гг I ' >
$¦
Возможно, такая форма записи точнее всего выражает полученные здесь
результаты. Однако чтобы привести их к виду, более близкому к обычным
понятиям, можно, как и в (1.247) и (1.249), положить
dxij = е (М) е (N) r{*mMkNm d2v,
dx^ = E^L)^kmLmd3v.. ( }
Здесь М.1 и N1 -- единичные векторы, ортогональные к V2 я ортогональные
друг к другу, a L1 - единичный вектор, ортогональный к V3; d2v и d3u -
инвариантные элементы площади и объема соответственно. Тогда
Fi} dxij = 2е (Л4) е (N) F*kmMkNm d2v,
F*j dxij = - 2e (M) e (N) FhmMkNm d2v.
Замечая, что в силу (10.6)
4aiWykm=6C (10-84)
имеем
±4aijkrdxiih = 2e(L) V4"- (Ю.85)
Таким образом, формулы (10.80) и (10.81) можно записать в виде
>e(M)B(N)FtmMhNmdj> = 0, (10.86)
Vi
<§е(М)е (N) FhmMkNm d2v = - ^ е (L) Ld3v. (10.87)
v2 vs
Заметим, что при переходе от (10.80) и (10.81) к (10.86) и (10.87) F и F*
поменялись местами. Разумеется, векторы Lx, М\ N1 должны быть
соответственным образом ориентированы (см. гл. I, § 10).
Аналогично тому, как мы определили инвариантные компоненты в (10.2), мы
можем определить инвариантные компоненты дуального тензора
F (аЬ) = Е*Д(0)А.(ь) - -F*ba). (10.88)
Чтобы выразить их через инварианты Еа и На, выписанные в (10.3), заметим,
что (10.69) (q = - g) дает
F**3 = <TlFu, F*u = q~'F2з,
Fb=-qFu, F*,= -qFM, (1°'89)
и восемь других уравнений, получающихся из написанных при помощи
циклической перестановки индексов 1, 2, 3. Если в качестве специальных
координат выбрать такие, в которых локально
?aP= ^ар, ga 7 1" ^(а) ба>
то в них
Таким образом, в системах координат общего вида инвариантными
компонентами являются
Ftw= -Ни FU)= ~Н2, Ffs*,= -Я"
F*{23) = Elt F*3i) = E2, F*i2) = E3. ^91)
§ 4. Пространства электровакуума
309
Формулы (10.80), (10.81), (10.86), (10.87) носят весьма общий характер:
они справедливы как для временноподобного, так и для
пространственноподобного V3. Допустим, в качестве простого примера, что
V3 - пространственноподобен, так что U - временноподобный вектор, и
выберем в V3 систему ортонормированных 4-реперов с А,(4> = L1. Положим
\\ь) = М1, *.(!) = N* на границе V2, так чтобы вектор A-Jd представлял
собой единичную нормаль к в V3. Тогда из (10.86) и (10.87) следует, что
§H1d3v = 0, (10.92)
va
^E1d3v= ^ /(4)d3v. (10.93)
Va Vs
Здесь Е1 и Н1 - нормальные компоненты электрического и магнитного
векторов. Мы имеем теорему Гаусса: соотношение (10.92) означает, что
нормальная составляющая потока магнитного вектора через замкнутую
поверхность равна нулю, а (10.93) означает равенство нормальной
составляющей потока электрического вектора через замкнутую поверхность
полному заряду, содержащемуся в объеме, ограниченном данной поверхностью
(множитель 4я не появляется рследствие того, что здесь используются
рациональные единицы).
Чтобы пояснить понятие "замкнутого двумерного пространства" в обычных
терминах, можно привести простейший пример - мгновенное существование
сферической поверхности в некоторый момент времени. Более сложным
примером может служить двумерное пространство, образованное "историей"
замкнутой проволочной петли, находящейся в покое в течение конечного
интервала времени. Замкнутое Уг образовано "историей" петли (эта часть
временноподобна) и мгновенным положением воображаемой мембраны,
натягивающейся на петлю, в начальный и конечный моменты времени (эта
часть пространственноподобна).
Кроме приведенных выше интегральных теорем электромагнетизма, имеет место
