Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
построенных в плоском пространстве - времени (имеются в виду главным
образом теории Нордстрема [814-816], Ми [738], Уайтхеда [1378] и
Биркгоффа [57, 60]. Некоторые замечания о работах первых двух авторов
можно найти у Паули [881]).
2) Читатель может познакомиться с критическим обзором этого вопроса у
Мак-Витти [732].
§ 8. Орбиты и лучи в поле Солнца
§ 8. Орбиты и лучи в поле Солнца
240
мем, как и в (7.145), метрическую форму вида
* г
da2 = d02 + sin20d(p2. (7.184)
Используемые здесь координаты очень сходны с координатами кривизны § 2,
хотя и не совпадают с ними полностью. Ради простоты обозначений мы
опустили штрих у f в формуле (7.145), так что t в формуле (7.184)
представляет собой собственное время не в центре Солнца, а в точке,
фиксированной при г = оо. Координата г, очевидно, не является
"пространственным расстоянием"; она, как и ранее, определяется
требованием, что величина л-2 есть внутренняя гауссова кривизна
двумерного пространства t = const, г = const. Что касается т, то это
масса Солнца, определенная посредством (7.143), или, если Солнце
рассматривать как однородный жидкий шар,- посредством (7.176). Для нашей
цели лучше всего считать т некоторой константой.
Мы собираемся, основываясь на гипотезах о геодезических, изучать орбиты
планет и фотонов. При рассмотрении геодезических пространства - времени,
имеющего метрику (7.184), с чисто математической точки зрения не
возникает необходимости в каких-либо реальных подтверждениях результатов.
У реалиста же могут появиться сомнения. Убедившись, что гипотезы о
геодезических справедливы лишь для очень "малых тел", он может
задуматься, что это означает - неужели Земля и Юпитер "очень малы"?1) На
этот вопрос невозможно ответить до тех пор, пока не будет развита
рациональная теория проблемы двух тел и единственное, что остается- это
двигаться дальше, опираясь лишь на гипотезы о геодезических и пытаясь
выяснить, какие предсказания отсюда будут извлечены в связи с вопросом о
движении планет и лучей света.
Самый корректный способ изучения геодезических -это воспользоваться
уравнениями Лагранжа. Если при метрике общего вида записать функцию
Лагранжа как
F (х, х") = ^ gn xvх>', (7.185)
где "штрих" означает d/dw (здесь w - канонический параметр), то уравнения
геодезических примут вид
ddF^_dF_^ о. (7.186)
dw дхг дх1
Для изотропных геодезических эти уравнения допускают первый интеграл вида
Е = 0, (7.187)
а для временноподобных геодезических (при w = s) - первый интеграл вида
2F - - I. (7.188)
Лагранжиан для (7.184) задается формулой
2E = -^ + r2(0'2 + sin20(p'2)- (l-^)f2. (7.189)
* г
Так как ф и t- независимые координаты, то имеют место два первых
х) См. замечания "малых" величинах-в гл. II, § 3.
250
Гл. VII. Поля со сферической симметрией
интеграла
дР
= г2 sin2 0ш' = а 1,
где а и р - постоянные, зависящие от начальных условий. Уравнение для 0
имеет вид
ТЕГЗГ-= <7-191)
Кроме того, имеется первый интеграл (7.187) или (7.188) соответственно
рассматриваемому случаю.
Из (7.191) очевидно, что если в качестве начальных данных взять
0 = 1 я, 0' = 0, (7.192)
то эти уравнения остаются справедливыми. Но для любой отдельной
геодезической можно вращать оси координат (см. фиг. 71, стр. 229), так
что условия (7.192) будут выполняться и, следовательно, приняв (7.192),
можно без потери общности рассматривать отдельную геодезическую, или,
естественно, систему "компланарных" геодезических. Тогда (7.190) и другой
первый интеграл будут иметь вид
rV = a-i, (l_^*' = p,
.rV2-(l-^)/'2=-Tb
(7.193)
j 2m
r
где т] = 1 для временноподобной геодезической и т] = 0 для
изотропной.
Наш план состоит в том, чтобы, исключая t и w, вывести уравнение
орбиты, связывающее г и <р. Мы имеем
dw = ar2 diр,
(l-^dt = $dw = a$r2d<p. (7Л94)
Тогда второе уравнение (7.193) дает уравнение, связывающее г и <р,
аименно
dr2 + [r2(l-^-a2pV4 + Tia2r4(l-^)] tfcp2 = 0. (7.195)
Положим теперь
ц = |, (7.196)
Поделив (7.195) на r*d<p2, получим
Cw)'=f(u>' (7-197)
где
/ (гг) = а2р2 - (и2 + тщ2) (1 - 2гпи) = 2mu3 - ы2 + 2т\агти + а2 (Р2 -
т]) =
= 2т (и - и-,} (и - и2) (и -и3). (7.198)
Здесь Mj, "2, "з представляют собой нули функции f(u), причем, если все
они вещественны, то иг < ы2 < ыз- Имеем
wi + ul + u3 = 2т' (7.199)
щи3 + UJUX + ихиг = тщ2. (7.200)
§ 8. Орбиты и лучи в поле Солнца
251
Полная информация о поведении планет и фотонов (согласно гипотезам о
геодезических) содержится в орбитальном уравнении (7.197), для решения
которого требуется лишь выполнить интегрирование и инверсию, ибо как
только (7.194) решено, w и t задаются как функции ср с помощью интегри
ования (7.194).
Исчерпывающее исследование орбит было выполнено Хаджихара [424]. Мы
наложим здесь небольшое ограничение, рассматривая лишь те орбиты, которые
имеют перигелий (точку наибольшего приближения к Солнцу). В точке
перигелия
-^- = 0, f(u) = 0, (7.201)
а в остальной части орбиты " меньше, чем соответствующее значение в
