Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
= (7.133)
и метрическая форма принимает вид
ф= l га лст2 _ f i_ J_
1_1Аг" ^ Ъ1ХГ)а1' (7.134)
3
Если Л = 0, то это -метрика плоского пространства -времени, если
Л#0, то метрика пространства - времени постоянной кривизны /С = 1/3А.
Фактически мы вновь пришли к пространству де Ситтера, рассмотренному в §
1.
j Оставив этот весьма специальный случай, положим Л = 0 и подведем итог
следующим образом: если комоненты тензора Римана Т\ и Т* заданы как
произвольные функции переменных rut, mo метрическая форма (7.117)
совместна с уравнениями поля, коль скоро функции а и у заданы в виде
Г
е~а=1 +--\г*Т\с1г,
г б' (7.135)
Г Г
у=^ + y-re^T\^dr = - а + х ^ re" (Т\ - Т\) dr,
о о
а остальные компоненты тензора Т\ при этом задаются равенствами (7.131).
§ 6. Масса звезды конечного радиуса и теорема Гаусса
Рассмотрим теперь случай, когда звезда имеет резкую границу (см. фиг.
75), вне которой имеет место вакуум. Все, что было сказано выше, будет
верно и в этом случае. Однако здесь необходимо учитывать
16 Дж. J1. Синг
242
Гл. VII. Поля со сферической симметрией
условия соединения (7.89), которые эквивалентны следующим:
Т\ГЛ + Т*}Л = 0, _
П/.1+П/,4 = 0
Отсюда следует, что
Т\Т\-Т\Т{ = 0 для / = 0 (7.137)
или в силу (7.124) и (7.131)
Г
T\T\ + e*-vr-*(\r27l,4^)2 = 0 для / = 0. (7.138)
о
Пытаясь строить модель звезды с резкой границей, мы не можем
просто
задать гладкие Т\ и Т\ и затем обратить их в нуль вне некоторой
задан-
ной кривой f (г, t) = 0. Возможен лишь выбор кривой, определяющейся
формулой (7.138). Кроме того, существует условие, ограничивающее
первоначальный выбор Т\ и Т\\ если выражение (7.138) обозначить через f,
то / должна удовлетворять одному из условий (7.136) при / = 0.
Продолжая рассмотрение случая ограниченной сферической звезды,
совершающей произвольные пульсации, и полагая вне звезды Л = 0, согласно
(7.96), имеем
е-"=1-4> (7.139)
где А - постоянная. С другой стороны, если уравнение границы звезды имеет
вид r=%(t), то для любой точки вне звезды из (7.135) получим
х(0
е~а= 1 г-^- ^гЧ^йг. (7.140)
Отсюда следует, что
х(0
A=-x\r2Ttdr. (7.141)
Таким образом, правая часть оказывается постоянной (а не функцией t, как
это могло показаться). Это несколько неожиданное обстоятельство можно
проверить следующим образом. С помощью (7.131) получим
х(о х(0
J r2T\dr= ^ r2Tt,<dr +
0 0
+ r'Th' (t) = - г2 {Т\ - Tlx' (0), (7.142)
где Т\ и Т\ вычислены на границе. Последнее выражение обращается в нуль
вследствие второго условия сшивания (7.136). Таким образом, наши
утверждения доказаны.
Вводя в целях дальнейшего приближения к ньютоновской теории [см. (7.154)
и § 8] численный множитель, определим массу m звезды конечного радиуса
как
х(о
т = ^-А- - \^r2Tldr, х = 8я. (7.143
§ 6. Масса звезды конечного радиуса и теорема' Гаусса
243
Тогда для внешнего поля имеем
о
Ф = - г2 da2 - еУ dt2.
, 2т
г
В этом расчете координата t определена - это собственное время,
измеренное в центре звезды. Как мы уже знаем, внешнюю форму всегда можно
привести к статической. Итак, теперь ясно, что означает "время /'",
фигурирующее в формуле (7.105). В самом деле, полагая
Исторически внешней метрической форме (7.145) придавали большее значение,
чем внутренней, считая ее в некотором смысле более фундаментальной.
Теперь нам ясно, что при г = 2 т имеет место какое-то нарушение. Это -
так называемая "сингулярность Шварцшильда". Изучению последней посвящено
значительное количество работ. Однако если рассуждать не формально и
попытаться выяснить причину ее появления, то окажется, что в наших
рассуждениях фактически содержатся некоторые скрытые допущения
относительно природы неравенств. По существу здесь предполагается, что
величина Т\ такова, что ехр(-а) в соотношении (7.135) всюду положительна.
Это означает, что точки, для которых г = 2т, находятся внутри звезды. В
таком случае (7.145) применима лишь вне звезды, и в области где формула
(7.145) справедлива, сингулярность отсутствует.
Перейдем к анализу теоремы Гаусса в случае ограниченной звезды,
обладающей сферической симметрией. Напомним, что в ньютоновской теории
эта теорема гласит:
где N - ориентированная в направлении внутренней нормали составляю-,щая
напряженности гравитационного поля на поверхности S, охватывающей полную
массу звезды т.
Чтобы распространить эту теорему на случай теории относительнссти,
необходимо найти подходящий аналог для напряженнссти ньютоновского
гравитационного поля. Итак, если наблюдатель, движущийся вдоль /-линии (с
постоянными г, 0 и ф), бросает пробную частицу, то ее геодезическая будет
отклоняться от Плинии движения наблюдателя и это отклонение можно
рассматривать как меру напряженности гравитационного поля. В согласии с
задачей о падающем яблоке, решенной в гл. III, § 9, могло бы показаться,
что измерять напряженность гравитационного поля следует через величину
первой кривизны /-линии. Однако, как мы увидим, к теореме Гаусса можно
прийти быстрее, используя не величину Ь, а первую
