Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
2) Для ортогональной метрики общего вида символы Кристоффеля и тензор
Эйнштейна были получены в явном виде Динглом [206], а также Толманом
([1270]}
и Мак-Витти ([732]); однако эти формулы, естественно, несколько
громоздки.
§ 3. Различные формулы для сферической симметрии
233
Для формы (7.70) имеем ёп=еР, ёгг = ^, ёзз = е№, g44=_eY, gi}-
= 0(i Ф j),
fifii = е-(r), ё22 = е_р> ё33 = e-Vs'2, gli = - е-У, gu = 0 (i Ф j),
g = tietgi;= -s2exp(a + 2p + Y), (7-74>
lnV-g = ya+ p + ± у-fins.
Отличные от нуля компоненты символа Кристоффеля Г% имеют следую-
^11 О ai> I'll - о ai^a V"
щии вид:
г"
2
П2 = Пз=jPi,
rli = ya4> rM = TYi.
Па=-ipieP-", r^lp^e-v, (7.75)
r;,=cs-s ri = rL = lp4,
Пз = - Y №~"S2, rj. = - sc, rj, = 1 p^-vs*,
r^ly^Y-a, r;4 = ly4.
Следовательно, как показывают непосредственные вычисления с помощью
(1.88), отличны от нуля следующие компоненты тензора Римана:
#2323 = ЛН" ( 1 -1 P^p-a -I I №p-v) ,
я1ЯВ=*р ( -4 Ри ¦- т к ¦+ т "iP*)+т a4P4e"+p-v,
#3131 = sZ#l212>
#1224 = gP ^'2" Pl4 + Р1Р4 4" a4Pl 4" P4Yl^) > (7 7gy
#3134 = s2#l224>
#1414 = ( - у "44 - Т °4 + Т °4Y0 + ^ G7 Yl1 + 7 " Т Yl<l1) '
#2424 = ер ( - 4 Р" - Т Р42 -1- 4 P4Y4) +1 PiYieP_a+v>
#3434 = s2#2424-
Заметим, что обращаются в нуль те компоненты, в которых индекс 2, либо
индекс 3 встречается только один раз. Это нетрудно показать и не прибегая
к вычислениям, а основываясь лишь на свойствах симметрии. Аналогичным
образом, компонента тензора Риччи равна нулю,, если она имеет всего лишь
один индекс 2 (или один индекс 3). Как показывают вычисления, отличные от
нуля компоненты тензора Риччв имеют следующий вид:
#п = Рри + \ Р? + у Yu + у Y? - у aiPi - Т ai Yl +
+ "a-v(-Ya44 - ±a*--i-a4p4 + j(z4y4) ,
234
Гл. VII. Поля со сферической симметрией
я" = -1 + <*-" Р..+4 К+т P.V, -1 ",Р,) +
+"*-'(--1Р--тК-т"*+тЬ*). (777)
^33 ~ ^^22 г
^44 = Р44 + "J Р! + у °44 ' Ь J aj - X Q4Y4 - у P*Y4 +
+ ev-a ( _ 1 Yll -1Y; + J alYl - 4 P1Y1) -14 = ^41 = P14 + Y P1P4 - Y
""Pi " Y P"Yi-
В завершение вычислений получим выражения для неравных нулю компонент
смешанного тензора Эйнштейна при метрической форме (7.70); они имеют
следующий вид:
Gl = e-"( - Ip; - lpiY1) + e-P + e-v(p44 + 4p:-Lp4Y4),
= Gl - e~a ^ - y Pn - -j- PJ - y Yu - y yf - \ P1Y1 + Y "iPi + T aiYi) +
+ e_V (Y + T + Y"""+ T""+ T - T P"Y4- y "4Y") * (7-78)
G44 = e-" (-Pu-|p? + laipx) + e-P + -v(|p! + |a4p4) ,
e°Gl = - evGJ = Pl4 +1 Pip4 _ ^ a4P4 - 1 p4Yl.
Для полярных гауссовых координат в приведенных выше формулах следует
положить а = 0, для изотермических координат- а = у и Для однородных - а
= р. Это приводит к некоторым упрощениям, но мы не будем утруждать себя
выписыванием получающихся при этом формул. Для координат кривизн, однако,
упрощения оказываются более существенными. В этом случае
т - х1, 0 = х2, ф = х3, t = x*,
Ф = еа dr2 + г2 da2 - ev dt2,
e?a2 = e?92+ sin20tftp2, (7.79)
e? = r2, P = 2 logr, P4 = 2r-\ Pu= - 2r~2,
Pu + yPI=o, P4 = o.
Тогда (7.76) дает (s = sinG)
^2323 sr2(l e a), ^?1212=Y/""1' ^3131 = s2^1212>
^1224 = о Га4> ^3134 = ^2^1224>
(7 80)
^1414 = ea ( - Y"44- Y a4 + Y "4Y4) + ev ( Y Yll + Y Y?- Y aiYi) >
¦^2424 = Y ^YleV a> ^3134 = s2^2 4 24"
§ 3. Различные формулы для сферической симметрии
235
+e-v (т +Т ~ Т ал) *
G\ - г-4 - r~2e~a (1 - /-aj), eaG\ - - e^G* = - r_1a4.
(7.81)
Заметим, что здесь мы совсем не упоминали об уравнениях поля. Приведенные
выше формулы получены лишь в предположении сферической симметрии
пространства - времени. Продолжим рассуждения несколько далее в таком
чисто геометрическом духе. С точностью до условий элементарной
евклидовости (7.67), имеющих теперь вид
а и у - произвольные функции переменных rut, или х1 и х*, и из формул
(7.81)хсоответствующий тензор Эйнштейна получается с помощью
дифференцирования. Однако эти формулы обладают одним замечательным
свойством -мы можем совсем легко выразить а и у через G} и Cj. Из
третьего уравнения (7.81) с учетом (7.82) получаем
Подставляя полученное таким образом а в первое уравнение (7.81) и
учитывая (7.82), приходим к формуле
Теперь, используя другие уравнения (7.81), можно выразить остальные
Для вычисления же G\ вместо (7.81) можно прибегнуть к тождеству
Смысл всех полученных соотношений состоит в том, что мы имеем, по самой
сути дела, две произвольные функции а и у или Gj и G\, тогда как другие
G) выражаются через первые с помощью дифференцирования или
интегрирования.
Как отмечалось ранее, координаты кривизн не являются, в математическом
смысле этого слова, допустимыми. Таким образом, на трехмер-
a = у = 0 для г = О,
(7.82)
Г
(7.83)
о
Г
(7.84)
о
компоненты G) через G\ и GJ. В силу последнего уравнения (7.81) мы имеем
Г
О
(7.86)
для случая 1=1. Это дает
GI = с; = | rG\,. 4-1 rG\ti + (1 + 4 ryi) G\ +
+ Tr(a*+Y4) Ct-T^iGJ.
(7.87)
236
Гл. VII. Поля со сферической симметрией
ной гиперповерхности разрыва, определяющейся уравнением
f(r, t) = 0, (7.88)
мы должны предполагать непрерывность а и у, но не обязательно их первых
