Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
/¦;= 1-уЛг2 + В2--?- , (7.116)
где С -какая-то другая произвольная функция х4. Последнее
уравнение
при фиксированном х* может быть разрешено в квадратурах. Тогда
J) Здесь предполагается, что для р >• 0 соседние геодезические NE (см.
фиг. 71)> не пересекаются; другими словами, г> 0, ev>0 для р>0.
§ 5. Полипе поле при сферически симметричном распределении 239
инверсия даст функцию г (л:1, л:4). Однако из (7.116) очевидно, что если
Л положительна, то г не может возрастать бесконечно при увеличении х1-, г
будет иметь максимум и затем начнет убывать, как указано выше1).
§ 5. Полное поле в случае сферически симметричного распределения материи
В предыдущем параграфе мы рассмотрели внешнее поле для сферически
симметричного распределения материи, причем было сочтено целесообразным
рассмотреть отдельно внешнее поле с тем, чтобы подчеркнуть факт
независимости теоремы Биркгоффа от структуры материи, разумеется, только
когда распределение материи сферически симметрично. Обратимся теперь к
общей проблеме полного поля (внешнего и внутреннего).
Для конкретности представим себе звезду, которая может пульсировать в
радиальных направлениях2). Ради формальной простоты мы применим
логарифмические координаты, так что метрическая форма будет иметь вид
Ф = е" dr2 + г2 da2 - е? dt2, da2 = dQ2 + sin2 0 dtp2, <7.117)
x1 = r, *2 = 0, *3 = <p, x*=t.
Для общностй введем в рассмотрение космологическую константу, так что
уравнения поля будут иметь вид
Gj -Лб)= -хТ), х = 8л. (7.118)
Однако ввиду затруднений, отмеченных в предыдущем параграфе, мы будем в
некоторых, случаях полагать Л = 0.
В действительности совершенно безразлич- ф и г 74 Пространственно-но,
предполагаем ли мы, что звезда ограничена временная картина пульси-резкой
границей, или считаем ее простирающей- рующей звезды,
ся (без четкой границы) до бесконечности.
Можно рассматривать вторую возможность как предельный случай первой.
Пусть звезда имеет резкую границу и пусть уравнение этой границы имеет
вид
/(г, 0 = 0. (7.119)
Графически она изображена на фиг. 74. При переходе через нее должны
выполняться условия соединения (7.89).
Сферическая симметрия накладывает ограничения на тензор энергии.
Собственные векторы X1 и собственные значения k этого тензора таковы, что
в любой точке два собственных вектора лежат в двумерном элементе, для
которого dx2 = dx3 = 0, а два других -в двумерном элементе, для которого
dx1 - dxi = 0. В последнем случае оба собственных значения
9 Такого рода вопросы более детально были изучены О'Райфертаем [839].
2) При поверхностном рассмотрении теоремы Биркгоффа могло бы показаться,
что, поскольку внешнее поле статическое, звезда не может пульсировать!
Однако это-
не так. В действительности, звезда может пульсировать, сохраняя при этом
сферическую симметрию, но, как и в ньютоновской теории, в общей теории
относительности эти пульсации не влияют на внешнее гравитационное поле,
т. е. фактически монопольное "гравитационное излучение" отсутствует.
240
Гл. VII. Поля со сферической симметрией
равны между собой и оба собственных вектора неопределенны. Уравнения для
собственных векторов и собственных значений записываются следующим
образом:
= kgil'. (7.120)
Учитывая, что gu имеет диагональный вид, легко показать, что уравнения,
относящиеся к случаю dx1 - dx'i = 0, записываются в виде
ТпХ* + Т13Х3 = 0,
+ Tr3\3 = .у j2j\
T3,W + Тю\3 = kg33k3,
Tuv + T"\> = 0.
Этим уравнениям должны удовлетвор ть какие-то k при произвольном
отношении № : X3. Следовательно,
Т13 = Tl j = Ti2 - Т43 = Т23 = 0,
= (7-122)
ёгг 8зз
и, таким образом, отличны от нуля лишь следующие компоненты Т):
Т\, Т\ = Т1, Т*, Т\, Т\, (7.123)
где
е"Т[=-еУТ\. (7.124)
Из всех уравнений поля (7.118) мы должны удовлетворить лишь
четырем следующим:
G; = A-xT|,
Gs = А - xTs 5 г' (7.125)
G*t = A-xT\,
Gi=-xTi.
Подставляя в правую часть [выражения (7.81), получаем четыре уравнения
для шести величин
а, у. П. К Т1 П (7.126)
Будем рассматривать Т\ и Т* как заданные функции переменных
г и t. Вместо того чтобы заново решать (7.125), воспользуемся
результа-
тами, полученными в § 3. Подставляя (7.125) в (7.83) и (7.84), получаем
Г
е-" = 1 -1 Аг2 + -2- \ r2T\ dr,
о
Г Г
у = - A ^ reP- dr + ^ ^ е -f кгеаТ\^ dr.
(7.127)
о о
Из первого и третьего уравнений (7.81) следует, что
G\ - G*=eti + Yi) (7.128)
и, следовательно, в силу (7.125)
ах + Yi = ягеа (Т\ - Т*). (7.129)
Таким образом, второе равенство (7.127) можно записать в несколько
§ 6. Масса звезды конечного радиуса и теорема Гаусса
241
ином виде:
Г
Y= -а + х ^ re*(Tl-T*t)dr. (7.130)
о
Выразив таким образом а и у через Т\ и Т\, мы получим следующие выражения
для остальных величин (7.126), подставляя (7.125) в (7.85) и (7.87):
Г
т\= -г'2 ^ гЧ\лдг,
О
П = ^гТ\л +1гГ1.4 + (1+1гу1)Г1- (7Л31)
-±re*~v (а4 + у4) Т\-±- гухТ\.
Если положить
Т\ = 0, Г4* = 0, (7.132)
то все компоненты Т) обратятся в нуль, и звезда фактически исчезнет. В
этом случае (7.127) и (7.130) дают
