Классическая динамика - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
уменьшением размерности, как мы сделали это для консервативных систем в §
96. Правда, теория для пространства QТРИ.остается справедливой во всей ее
общности, однако она развита для пространства, в котором t является
координатой, а в пространстве QP мы низводим t до роли простого
параметра.
Рассмотрим функцию G (q, q', t) и преобразование (9> P')t заданное
формулами
" _9G(q,q',t) dG(q,q',t)
Рр - - , Рр-------------- •
dqp dqp
Тогда имеет место уравнение
рр 6gp - р'бд'= 6G - - б< (97.3)
dt
или
Рр бqp - Н (q, t, р) бt =
== Ppbq'p - К {q', t, р') бt + бG, (97.4)
где
К (q, t, р') = И (q, t, р) + д- ^ q 'J\ . (97.5)
dt
Теперь G - функция положения в пространстве QTP (так как можно разрешить
(97.2) относительно q'p, выразив его через (q, t, р)) и мы можем
применить доказа-
*) Ср. Уиттекер [28], гл. XI.
22*
340
ФАЗОВОЕ ПРОСТРАНСТВО (QP)
[ГЛ. VII
тельство Пфаффа, аналогичное проведенному па стр. 329; отсюда заключаем,
что канонические уравнения преобра-
. _ дН . дН
Яр . " Рр ¦ . (9/.6)
дрр dqp
зуются в следующие: 159
•' _ дК _ дК
Яр . , > Рр . , " (97.7)
дрР dqp
причем гамильтониан изменяется согласно (97.5). Таким образом, (97.2)
есть каноническое преобразование (КП) в пространстве QP; производящая
функция G содержит время t как параметр.
Это исследование в пространстве QP является менее общим, чем
исследование, данное в § 94 для пространства QTP, потому что в случае
пространства QP время не подвергается преобразованию. О КП, сохраняющих
время в QTPH, см. уравнения (88.26).
Пусть и и г; - две произвольные функции 2N + 1 величин (q, р, t), т. е.
функции положения в пространстве QP и параметра t; их скобки Пуассона
определяются следующим образом:
г , ди dv dv ди
[и, г;] = • -•. (97.8)
dqp dpр dqp дрр
Когда изображающая точка движется вдоль траектории, скоростью изменения
любой функции F (q, р, t) будет
dF dF dF . dF . dF f ,
-лт=1Г+^Яр + -^Рр = Т7+[Р'Н1 (97.9)
dt dt dqp dpp dt
В частности, с помощью скобок Пуассона имеем другую возможную запись
канонических уравнений:
Яр = [?Р, Н\ рр = рр, Н]. (97.10)
Покажем теперь, что если и (q, р, t) и v (q, р, t) - две постоянные
движения, то их скобки Пуассона [н, г;] также являются постоянной
движения.
§ 97]
НЕ КОНСЕРВАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ
341
Нам даны выражения
Согласно (97.9) имеем уравнение
dl dt
~ [и, гг] = - [и, гг] + [[и, гг], Н\; (97.12)
последний член его можно изменить, приняв во внимание тождества Якоби -
Пуассона
[[и, гг], гп] + [[гг, и?], 77] + [[гг;, гг], гг] = О
(ср. с (89.3)), так что вследствие кососимметричности скобок Пуассона
получаем соотношение
Подставляя значения (97.11), получаем
~ [и, гг] 1! 1 <а> |Г гг] + dv ди
- , и - , гг
dt dt - dt dt
что и доказывает сформулированное утверждение.
Рассмотрим теперь оо2 семейство траекторий с уравнениями
Яр = Яр (", v, t), рр = рр (гг, гг, t), (97.15)
где и и v - постоянны вдоль каждой траектории. Тогда скобки Лагранжа
есть функции и, гг и t; докажем непосредственным вычислением, что эти
скобки Лагранжа - постоянная движения. Имеем уравнения
[гг' ^ = W[гг' ^ ~^ + н^ (97-13)
ди dv dv ди
(97.16)
dll др.
дН
342
ФАЗОВОЕ ПРОСТРАНСТВО (QP)
[ГЛ. VII
эти величины являются функциями и, v и t. Тогда d/ dqp дрр\ _ д[ dqp
dpp\ _
dt \ du dv j dt\ du dv j
dH \ dpp __ dqp d / dH \
dpp j dv du dv \ dqp /
= ^H d$a dpp \ 9)2^ 9pa 9pp dpp dqa du dv dpp dpa du dv
_ dqp d2H dqp _ dqp d2H dpa = du dqp dqa dv du dqp dpa dv
= d2H dppdpp_ d2H dqp dqa lg^
dpp dpa du dv dqp dqa du dv
Меняя местами и и г и вычитая из (97.18) полученное таким образом
уравнение, приходим к уравнению
~ {и, v] --= 0, (97.19)
at
которое и доказывает наше утверждение.
§ 98. Неконсервативные системы. Абсолютные интегральные инварианты в
пространстве QP. Теорема Лиу-вилля. Продолжаем рассматривать общую
систему, для которой Н ~ Н (<7, t, р). Пусть большие индексы А, А1, ...
принимают значения 1,2,..., 2М, где
a N, как всегда, число степеней свободы системы. Рассмотрим оо2М
семейство траекторий с уравнениями
ЯР = ЯР (".О" Рр = Рр (ц.О. (98.1)
где и означает совокупность 2М величин ил, которые постоянны вдоль каждой
траектории.
Для любого фиксированного значения t уравнения
(98.1) определяют 2Л7-мерную поверхность в пространстве QP. Пусть D -
некоторая область на этой поверхности, ограниченная пределами изменения и
а- Введем
§ 98] АБСОЛЮТНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ИНВАРИАНТЫ 343 следующий 2М X 2М
детерминант, зависящий от иА и t: Дм (gli • • •> Qm, О и . . ., Ом) =
дЯР1 дЯр! dq pi
. dui du2 du2M
dq,,* dqP2
ди{ du2 du2M
дЦум drbM dqPM
dui du2 du2M
dp a 1 dp, T! dp ai
dUi du2 du2M
дР°м dP ом dP
dui du2 du2M
(98.2)
Здесь gi, . . qm, <Ti, . . Ом - любые числа в пределах 1,2, . . N. Тогда
интеграл
^ Алг (gii ¦ • ¦, Qm, cti, . . ., ом) dui. . . du^M (98.3)
инвариантен в том смысле, что он имеет одно и то же значение независимо
от того, какие параметры1) иА выбраны в области D. Определим Фм следующим
образом:
Фдт = Дм (gi, • Qm, Qi, • • Qm) (98.4) (с обычным условием суммирования).
