Теория фазовых переходов - Синай Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
по также возможно, получить аналогичную оценку снизу.
Оценки такого типа как раз выражают условие равновесия фаз: выигрыш в
свободной энергии от замены в какой-либо области одной фазы другой
порядка длины границы, а не объема!
При произвольных значениях ц приведенные выше рассуждения переносятся на
статистические суммы, описываемые контурными моделями. Смысл
параметрических контурных моделей в том, чтобы описать
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
99
термодинамически невыгодные, т. е. неустойчивые фазы. В работах Д. Г.
Мартиросяна [23] исследуется статистика конфигураций, отвечающих
параметрическим контурным моделям с параметром. Основным результатом
является "теорема о полоске", утверждающая, что при неустойчивых
граничных условиях типичные конфигурации устроены так, что только
небольшая полоска около границы чувствует влияние граничных условий, а у
типичных конфигураций вне этой полоски расположены устойчивые фазы.
Исследования в этом направлении было бы интересно продолжить с тем, чтобы
в полном объеме доказать утверждение: построенные в основной теореме
чистые периодические предельные распределения Гиббса исчерпывают все
периодические предельные распределения Гиббса!
§ 11. Дополнительные замечания
1°. Введенное в § 2 этой главы определение основного состояния применимо
не только к периодическим конфигурациям. Могут быть, разумеется, и
основные состояния, не являющиеся периодическими конфигурациями.
Например, пусть Но - гамильтониан d-мерной ферромагнитной модели Изинга,
фд> * - конфигурация, ДЛЯ которой <р(я) = +1 для X = (#1, . . Xd) при
Xi<a и ф(ж) = - 1 в остальных случаях. Тогда, как легко видеть, 'фа,* -
основное состояние. Однако вопрос о том, когда фаг порождает при больших
{J гиббсовское поле, являющееся малым возмущением фаг, далеко не прост.
Дж. Галлавотти и С. Миракль-Соль [68] и А. Мессаже [102] показали, что
при d = 2 и больших р такие основные состояния не приводят ни к каким
новым предельным распределениям Гиббса. Причина этого та же, что и
причина, вызывающая отсутствие фазовых переходов в одномерном случае:
отклонения от основного состояния могут быть большими по своим размерам,
но разность энергий при этом может оставаться конечной и не зависящей от
размеров отклонения. Иными словами, такое основное состояние естественно
считать неустойчивым. Наоборот, при d > 2 это уже не так. P. JI. Добрушин
дока-
100 ФАЗОВЫЕ ДИАГРАММЫ РЕШЕТЧАТЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 2
зал, что при и достаточно больших [} существу-
ют предельные гиббсовские распределения, являющиеся малым отклонением от
основного состояния (см. [17]). Красивое доказательство этого утверждения
для модели Изинга было получено X. Ван Бейереном [46]. Было бы
чрезвычайно интересно получить общую теорему, которая показывала бы, при
каких условиях непериодическое основное состояние порождает при больших
[} близкие к нему гиббсовские состояния.
2°. В недавних работах Дж. Глимма, А. Джаффе и Т. Спенсера [77], [78]
было показано существование фазового перехода в модели квантовой теории
поля % : ф4:2 при достаточно больших Х/ml. Применяемая ими техника
достаточно сложна, и мы не можем остановиться на этом подробно. Мы
поясним, однако, что понимается в моделях квантовой теории поля под
основными состояниями и почему при больших k/ml происходит вырождение
основных состояний, которое и является причиной фазового перехода. При
изложении этого вопроса мы следуем^СЮб].
Проще всего рассмотреть 'решетку Z2 с шагом h и в окончательном выражении
устремить h -*¦ 0. Итак, рассмотрим решетчатую модель, в которой основные
переменные <р(ж) принимают действительные значения - оо < ср(х) <
х=(х[, Х2) и гамильтониан Я
имеет вид
Я= 2 (т (P(xi + fe> хг) - ча*!' А>Т +
х=(л1,х2) /
+ (ф (¦*!, Х2 + Ъ) - ф (хи х2))2 +
+ 1 ml :Ф2 (*): А2 + X :Р (ср (*)):, №
Н в + Ь2:Р(ф(*)): 2^3.
" гп*
Здесь
2 п 2 п
Р(ф) = S "йФЬ, :Р(Ф):т2 = 2 "к :Ф*:с(т2у
k=l то k=i °\то)
где 'лРк:0^т2^ - й полином Эрмита, вычисленный по гауссовскому
распределению случайной величины ф(ж)
§ li]
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
101
с дисперсией о(то), порожденному свободным полем Н 2* Заметим, что о(то)
~ const • Inh~l при и
m о
oimo) - о(т\) ~ const • In (mi/m0) при rrt\ оо равномерно по h.
Если пытаться определить основное состояние приведенного гамильтониана
как периодическую конфигурацию поля с минимальной удельной энергией, то
мы легко найдем, что значение этой конфигурации будет стремиться к ±°о
при h -"• 0. Это показывает, что прямое применение соответствующего
определения для решетчатых моделей здесь не подходит, поскольку оно
предполагает, что колебания поля около основного состояния абсолютно
малы. В рассматриваемом же случае естественно ожидать, что эти флуктуации
малы только в среднем, когда производится усреднение по малым областям,
не зависящим от h.
Корректное определение основного состояния делается следующим образом.
Будем искать основные состояния, являющиеся константами, т. е. ср(#) = А
