Современные проблемы эргодической теории - Синай Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Яо = (c) ? Нк(c)Яш. Зададим в Я0 группу {Т1} унитарных
к= 1
операторов, действующих по формуле = feHk
или Яш.
Теорема 5 (основная теорема о спектральной классификации групп {!/'}).
Для любой группы унитарных операторов {Г'}, te Z1, можно найти
гильбертово пространство Н0 и действующее в гильбертовом пространстве Н
унитарное отображение V: Я->Я0 такие, что
VU^U'oV, te Z1.
Если Н'о, Но-два пространства, изоморфные при этом Я, и а'к, <Тщ и ак, а"
- соответствующие меры, то о'к ~ а(', стm~a" в смысле абсолютной
непрерывности мер.
Множества Л*, Лш определяются группой {?/'} и могут быть выбраны
независимо от изоморфизма V. Говорят, что на Ак группа {U'} имеет
однородный спектр кратности к (на Лш группа {?/'} имеет бесконечнократный
спектр), а ак-спектральная мера кратности к. Если только одна из мер ак,
am отлична от нуля, то группа {U1} имеет однородный спектр
соответствующей кратности. Если все ак, <тш абсолютно непрерывны
относительно меры Лебега, то говорят, что {?/'} имеет абсолютно
непрерывный спектр. Если <Ти = 0 при к= 1, 2, ..., а <тш=/-мера Лебега,
то говорят, что {U1} имеет бесконечнократный лебеговский спектр. Этот тип
спектра часто встречается в эргодической теории (см. часть II этой
книги).
26
Для приложений полезен следующий критерий того,
ЧТО сг ш = /.
Критерий существования счетно-кратного лебеговского спектра. Пусть
существует такая бесконечная последовательность векторов hk, k= 1, 2,...,
что последовательность векторов U'hk, k= 1, 2, - со<г<со,
образует ортонормалъный базис. Тогда стк = 0, k= 1, 2, ..., и в качестве
аш можно взять меру Лебега I на окружности.
Если U'hk, k= 1, 2, ..., - со < Г< со, образуют базис инвариантного
подпространства Н, то Ашф0 и в качестве аш можно взять меру Г, для
которой 1<с1'.
Доказательство этого критерия легко вытекает из теоремы 5, и мы его не
приводим.
Приведенные определения и теорема 5 непосредственно переносятся на случай
непрерывных групп, где feR1. Надо лишь считать, что At, Лш-
непересекающиеся подмножества прямой R1, стк, стт-меры на этих
подмножествах.
Сейчас мы введем один важный класс преобразований с инвариантной мерой и
увидим интересный пример применения спектральной теории унитарных
операторов. Пусть М= [0, 1]. Разобьем его на г отрезков Д1; ..., Дг.
Здесь и во многих случаях далее мы допускаем несущественную неточность,
считая, что система отрезков задает разбиение, если Aif]Aj=dAif]dAj, iфj,
и (J Д,- = [0, 1]. Зададим также какую-
i= 1
либо перестановку л из г элементов.
Определение 9. Перекладыванием отрезков называется преобразование Т: [0,
1 ]-> [0, 1], при котором Д; = TAi = Ai+ai, 1 и новые отрезки
А\ идут в порядке, определяемом
перестановкой л.
Таким образом, перекладывание отрезков задается вектором /=(/i, ..., lr),
где /;-длина Д;, и перестановкой л. Ясно, что Т сохраняет меру Лебега ц.
Обозначим через разбиение [О, 1] на отрезки Аг. Тогда ТЪ,0 есть разбиение
[0, 1] на отрезки ГА,. Через обозначим разбиение [0, 1] на отрезки Д,лР|
ТА-Ч П ... П ТпА^. Тот факт, что элементы являются отрезками, легко
доказывается по индукции на основании того, что доопределение 10.
Перекладывание Т называется транзитивным, если lim max р (Q ) = 0.
л-"оо
Если Г не является транзитивным, то найдутся такой отрезок А<0) и такое
к, что Тк |А<0) есть тождественное преобразование. Поэтому нетранзитивные
перекладывания
27
естественно рассматривать как исключительные в пространстве всех
перекладываний.
Теорема 6. Пусть Т-транзитивное перекладывание г отрезков, ц-любая
непрерывная инвариантная относительно Т мера, не обязательно являющаяся
мерой Лебега. Тогда число эргодических компонент Т не превосходит г.
Доказательство. Начнем с нескольких дополнительных фактов из спектральной
теории унитарных операторов. Пусть Н-конечномерное гильбертово
пространство, в котором действует унитарный оператор U. Собственные
значения U по модулю равны 1; подпространства, отвечающие различным
собственным значениям, попарно ортогональны. Возьмем вектор heH и введем
подпространство H(h), порожденное векторами ..., U~2h, U~lh, h, Uh, U2h,
... Очевидно, что Я(А) = СЯ(А)=С-1Я(А).
Пространство Я (Л) можно получить и другим способом. Пусть ht есть
проекция h на подпространство, отвечающее собственному значению z;
оператора U. Тогда Я(А) есть ни что иное, как линейная оболочка векторов
ht. Отсюда вытекает важное
Следствие. Пусть даны векторы А(1), ..., А'"' такие, что
к
Н= ? Я(А(,)), хотя пространства могут быть и неор-
1=1
тогональными. Тогда dimЯ^А для любого i, где Я; - подпространство
собственных векторов с собственным значением z;.
Доказательство. Пусть hP есть проекция h(l) на Я(. По предположению {h(P,
1=1, 2, ..., к} порождает Я,. Следовательно, dim Я; ^ к.
Проведенные рассуждения легко переносятся на бесконечномерный случай.
Пусть Я-бесконечномерное гильбертово пространство и U-унитарный оператор,
действующий в Я. Через Я (А) обозначим замыкание линейной оболочки
