Современные проблемы эргодической теории - Синай Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
t - CO
Ясно, что p сосредоточена на аттракторе А. Особенно важны случаи, когда р
не зависит от выбора начальной меры v0. Тогда ее естественно принять за
ту инвариантную меру, которая вырабатывается динамикой.
Первым и очень важным следствием инвариантности меры является так
называемая эргодическая теорема Биркгофа- Хинчина. Мы приведем ее в
подробной формулировке.
Эргодическая теорема Биркгофа-Хинчина. Пусть (М, Jt, р)-пространство с
мерой, /е L1 (М, Jt, р). Для \а-почти каждой точки х и feL1 (М, Jt, р):
1) в случае эндоморфизма Т существует предел
7(x)=lim-L ?/(Г'х);
^ял+1*=о
2) в случае полупотока {Т'} существует предел
Г
7(х)= lim ^ (Гх)Ж;
Г-сс ¦* J
О
3) в случае автоморфизма Т существуют и равны пределы
1 ^ V .. 1
1
/(х)= Urn - X /(Г'х) = Нш- X /(Г-'х)
п~* со Л = О Л+1 *=0
= 11т 2п+\ ^ /(Г'Х);
л- со 1 fc= -п
4) в случае потока {Т*} существуют и равны пределы гг г
7(х)= lim i If{T'x)dt = Urn 1*/(Г_,х)Л= lim I* f(T'x)dt. T-+0O 1 J Г-со
1 J Г-со 11 J
Г-со J Г-со '
0 -Г
При этом /(x)=/(7'(x) для любого допустимого х и \fd\i.= - \fd\i~
Функция / называется средним по времени или средним вдоль траектории.
Таким образом, эргодическая теорема
16
Биркгофа-Хинчина утверждает существование временных средних.
Доказательство этой теоремы приводиться здесь не будет. Имеется много ее
обобщений, из которых мы приведем формулировку так называемой
субадцитивной эргодической теоремы Кингмана, представляющей собой важное
усиление эргодической теоремы Биркгофа-Хинчина. Остановимся на
Я - 1
случае эндоморфизмов. Суммы ? f(Tkx)=g"(x) удовлетворяло
ют соотношению: g" + m(x)=g"(x)+gm(r"xV Рассмотрим теперь произвольную
последовательность {gn (х)} вещественных измеримых функций на М, которые
вместо последнего равенства удовлетворяют неравенству gm+"(x)^g"
(x)+gm(7'"x) почти всюду. Для таких последовательностей справедлива
Субаддитивная эргодическая теорема Кингмана (см. [5]). Пусть gn: ЛГ -1
(J{ -оо}, gt eLk(M, Л, р), где gi (x)=max{0, gt (х)}. Тогда существует
такая инвариантная относительно Т функция g: сс), g+е
L1 (М, Л, р), что lim -g"(x)=g(x) для почти всех х, причем
я-(r)"
Ит ^ J"&. dp = infХ- J"g" dp = jV</p.
м м
Обратимся теперь к другому следствию существования инвариантной меры-так
называемой теореме Пуанкаре о возвращении. Пусть Т-эндоморфизм
пространства (М, Л, р). Возьмем Се Л, для которого р(С)>0.
Теорема Пуанкаре о возвращении. Для почти каждой точки хеС существует
бесконечная последовательность {&,} такая, что Тк'хеС.
Доказательство. Обозначим через С, множество точек хеС таких, что ТкхфС
для всех k^s. Мы покажем, что р (Cj) = 0 для любого х>1. Сначала заметим,
что Csf]T~mCs= 0 для всех m^s. В самом деле, если хеQPlT~mCs, то Tmxe
CS^C, что противоречит определению С,. Более того, T~nCsf]T~mCs = 0, если
n - m^s. Действительно, если xeT~nC,f)T~mCs, то TmxeCsf]Tn~mCs, вопреки
предыдущему утверждению. Таким образом, множества T~psC" р = 0, 1, ...,
попарно не пересекаются и имеют одинаковую меру. Следовательно, p(Cj) =
0. Теорема доказана.
С теоремой Пуанкаре о возвращении связан так называемый парадокс Цермело
в статистической механике. Возьмем какой-либо ограниченный замкнутый
объем V и рассмотрим
17
гамильтонову систему N одинаковых частиц, заключенных в этом объеме и
взаимодействующих между собой посредством сил парного взаимодействия с
потенциалом О (г). Функция Гамильтона для этой системы имеет вид
H=i^+YU(\qi-qj I).
i=i2m <;,л
На границе объема V зададим условия упругого отражения. Тогда на
многообразии постоянной энергии возникает мик-роканоническое
распределение, инвариантное относительно динамики.
Допустим теперь, что в начальный момент все частицы занимают только
половину объема V. По теореме Пуанкаре о возвращении должны наступить
такие моменты времени, когда вся система частиц снова соберется в той же
половине объема, т. е. если эта система частиц находится в газовой фазе,
то весь газ должен скопиться только в части объема. Такое событие
невозможно себе представить, и, разумеется, до сих пор оно не
наблюдалось. Частичное разрешение этого парадокса связано с большим
числом степеней свободы всей системы. Если предположить, что V имеет
объем 1 см3, а газ содержится при нормальных условиях, то в К имеется
примерно 6 • 102° частиц. Вероятность того, что газ занимает половину
объема, не превосходит р1<)23 при некотором р<1. Тогда время возвращения
Пуанкаре имеет порядок величины, обратной к вероятности, т. е. р_1°23.
Наблюдать систему в течение такого времени невозможно, и поэтому циклы
Пуанкаре не реализуются. Если же моделировать на ЭВМ движение системы
небольшого (порядка 10) числа частиц, то вероятность того, что все
частицы соберутся в половине объема, не так уж мала, и это событие можно
наблюдать.
ССЫЛКИ И КОММЕНТАРИИ
Г Имеется целый ряд книг, посвященных эргодической теории, и мы
перечислим здесь только некоторые из них.
[1] Корнфельд И. П., Синай Я. Г., Фомин С. В. Эргодическая теория.-М.:
