Современные проблемы эргодической теории - Синай Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
бесконечное число периодических траекторий, отвечающих разным q.
Групповые автоморфизмы и эндоморфизмы можно рассматривать для любых
компактных сепарабельных абелевых групп. Для неабелевых групп Изучение
эргодических свойств автоморфизмов и эндоморфизмов часто сводится к
изучению этих свойств для автоморфизмов и эндоморфизмов абелевых групп.
4. Теорема Лиувилля. Рассмотрим в л-мерном пространстве R" систему
обыкновенных дифференциальных уравнений
^=_/i(xi, хя), (3)
у которой правые части принадлежат классу С2. Мы можем определить поток
{Т'}, где Г'х есть решение х(/) системы (3), для которого х(0) = х. Пусть
р(хь ..., х")-неотрицательная интегрируемая функция. С помощью р можно
построить меру ??р0 = р(х1, ..., х")c/xi... dx". Известная теорема
Лиувилля утверждает, что если определить меру р., равенством р,(С) = =
\10{Т~'С), то р, будет иметь плотность р,(хь ..., х"), удовлетворяющую
уравнению
dp.(x!, X,) " g(p,/i)_0
8t ?
Последнее уравнение есть уравнение неразрывности. Из него видно, что ро
будет инвариантной мерой для потока {Т'}, если
Я
У --- = 0. Иногда такая мера р0 называется мерой Лиувилля,
i=i
а последнее уравнение-стационарным уравнением Лиувилля.
Часто оказьтается, что плотность р, являющаяся решением стационарного
уравнения Лиувилля, неинтегрируема, и поэтому ее невозможно нормировать.
Ситуацию удается ис-
11
править, если система (3) имеет первый интеграл /(хь х")
класса С2, т. е. /1=0, пРичем подмногообразия
/=const компактны. Тогда если I0 = l(x1, ..., х") = /(х), то 1(Т'х) = 10,
т. е. вся траектория точки х принадлежит компактному подмногообразию
/=/0.
Теорема. Если р(хь х")-неотрицательная функция,
являющаяся решением стационарного уравнения Лиувилля, то мера v0,
сосредоточенная на подмногообразии Г/о = {х|/(х) = /0},
для которой dvo = ---, где do-мера на Г/, порожденная |grad /1 0
индуцированной метрикой в пространстве Я", будет инвариантной мерой
потока {Т1}.
Меру v0 уже можно во многих случаях нормировать. Доказательство теоремы
имеется во многих учебниках анализа, и поэтому мы его здесь не приводим.
5. Гамильтоновы системы. Частный, но важный случай предыдущей ситуации
возникает в классической механике. Допустим, что задано 2т-мерное
симплектическое многообразие М0 класса С2, в окрестности UеМ0 выбраны
локальные координаты (q, p) = (qu ..., qn, pi, pn) и симплектическая
m
структура задается дифференциальной формой <в= ? dqt л dpt.
i= 1
Гамильтоновой системой на М0 называется система дифференциальных
уравнений на М0, порождаемая функцией H(q, р) класса С2 и имеющая вид
dgt дН dPi дН ...
и'""- <4)
Функция Н называется функцией Гамильтона, а сама система (4) называется
гамильтоновой. Из (4) видно, что р(<7, р)=1 удовлетворяет уравнению
Лиувилля и H(q,p) служит первым интегралом системы. Если подмногообразия
H(q, p) = c°nst компактны, то возникающая на таких подмногообразиях
инвариантная мера будет уже конечной. Она называется в
статистической механике микроканони-
ческим распределением.
6. Геодезические потоки. Пусть Q-компактное замкнутое риманово m-мерное
многообразие класса С2 и М0-кокаса-тельное расслоение над Q. Каждая точка
хеМ0 представляет собой кокасательный вектор к Q в некоторой точке qeQ.
Совокупность кокасательных векторов, касающихся
Q в точке q, есть кокасательная плоскость к Q в этой точке. Риманова
структура на Q позволяет ввести в скалярное
12
произведение (,) и отождествить касательное и кокасательное расслоения.
М0 каноническим образом наделяется симплекти-ческой* структурой. Возьмем
в качестве функции Гамильтона функцию #=(х, х). Многообразие постоянной
энергии Н= 1 есть пучок М единичных касательных векторов к Q. Динамика,
отвечающая гамильтоновой системе (4), имеет в данном случае простой
геометрический смысл. А именно, единичный касательный вектор хеМ
однозначно определяет направленную геодезическую. Тогда Т'х есть вектор,
получающийся параллельным переносом вектора х на расстояние t вдоль
геодезической, определяемой х. Так определенный поток {Тг} называется
геодезическим потоком на Q. Микроканоническое распределение v также
описывается в геометрических терминах. А именно, обозначим через ст меру
на Q, индуцированную римановой метрикой, и через du>q-равномерную меру
Лебега на (т- 1)-мерной сфере единичных касательных векторов S<m-1) с ^
Тогда для любой измеримой функции / на М
ffdv=f do (q) J /(х)Щв,(х).
Q 1)
7. Преобразование сдвига и стационарные случайные последовательности
теории вероятностей. Пусть (X, Ж)-измеримое пространство и (М, Л)-
измеримое пространство бесконечных последовательностей х = {х(}, где
X;еХ, - оо</<оо. Напомним, что Л есть наименьшая ст-алгебра, порожденная
всевозможными конечномерными цилиндрами С,- i =
= {x|x;teCl}, С*е9С, где (/ь ..., im)-произвольный конечный набор целых
чисел. Преобразование сдвига 5х = х', где х!=х,-+1, есть автоморфизм
измеримого пространства (М, Л). Инвариантность меры ц относительно S
