Современные проблемы эргодической теории - Синай Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
функции, поскольку
и \к=е2пЛл. Естественное обобщение возникает в случае M=Tord, р-мера
Лебега и Гх = х + а, где х=(хь ..., xd), а = (аь ..., а,,), х + а = (х! +
а! (mod 1), ..., x^ + a^mod 1)). Здесь Т снова автоморфизм с чисто
точечным спектром, так как
ехр -собственные функции, а отвечающие им
Мы можем теперь ввести далеко идущее обобщение. Предположим, что М-
компактная сепарабельная абелева группа, а р-нормированная мера Хаара на
М. Вспомним, что мера Хаара-единственная мера, инвариантная относительно
сдвигов, т. е. ц(Л) = ц(Л+ g) для всех geM и всех АеМ. Через ТЛ обозначим
сдвиг на элемент а еМ: 7'ах = х + а. Инвариантность меры Хаара ц под
действием Тл следует из определения р.
Покажем, что Га является автоморфизмом с чисто точечным спектром. Для
этого нужно ввести понятие характера абелевой группы.
Определение 2. Пусть М-топологическая абелева группа. Ее характером х
называется гомоморфизм М в S1. Иными словами, х есть непрерывная функция
на М со значениями в S1, для которой х(х+у) = х(х) х(у)-
UTfk(x)=MTx) = Xkfk(x) почти всюду.
UTfk(x) = e
2nik (х + а) _ ^ 2itik&g 2itikx
собственные значения равны ехр < 2л; ? nsa,
39
Тривиальный характер Хо есть отображение М в 1, т. е. Хо(х) = 1 • Если Хи
12- Два характера, то Xi(x) x2(x) = x3(x), Xi (х)' Хг (х) = Xi (х)' (Хг
(х)) ~1 = X* (х) также характеры. Таким образом, множество характеров
естественным образом превращается в группу. В случае, когда Л/ = Тог'|,
каждый характер имеет
вид х(х) = ехр
d
2ni | Yj "sxs| и группа характеров естественно
изоморфна Zd. Теорема двойственности Понтрягина утверждает, что если М-
компактная абелева группа, то ее группа характеров М' счетна. Заметим
также, что для каждого характера X ^ Хо
Jx(x)^(x) = 0. (1)
м
Действительно, для каждого аеЛ/
X(a)jx(x)^(x) = jx(x + a)^p(x) =
= |х(х + а) d\s. (х + а) = Jx(x) </р(х).
Так как %Ф%0, найдется такое аеМ, что х(а)#1. Следовательно, выполнено
(1).
Отсюда немедленно вытекает, что для двух характеров Хь 12, Xl#X2
fXlW,
Jxi (х) Х2 (х) ^(х) =
Хг(х)
</р(х) = 0,
т. е. множество характеров М' является множеством ортонор-мированных
функций. Мы будем пользоваться также тем фактом, что Л/' = {хп(х)}
образует ортонормированный базис в L2(M, р). Теперь видно сразу, что Та
есть автоморфизм с чисто точечным спектром, так как для каждого %кеМ'
X* (х) = Xfc(x + a) = Xfc (х) х * (а), Х* = х*(а).
JI е м м а 1. Тл эргодичен тогда и только тогда, когда Xt(a)#l при всех
кф0.
Доказательство. Допустим, что /(х)-ограниченная (modO) инвариантная
функция. Мы можем разложить ее в ряд Фурье
/=ZU ik)ik,
к
сходящийся в Ь2(М, р). Тогда
1>с)и*Х>с = Хх*(а)(/, Xk)lk=Y(/>
к к
Из последнего равенства сразу же получаем, что из х*(а)#1 при кфО следует
(/, Х*) = 0, т. е. /=(/, Xo)Xo=const(modO). Следовательно, Тл эргодичен.
40
Предположим теперь, что х*(а)=1 для некоторого кф 0. Тогда Xt(x)-
нетривиальная инвариантная функция и Г неэр-годичен. Лемма 1 доказана.
Следствие. Сдвиг Тл d-мерного тора эргодичен тогда
и только тогда, когда равенство ? n,as - n при целых ns,
1 ^s^d, и целом п выполняется лишь при n = ns - 0, l^s^d.
Любая группа сдвигов {Г"} устойчива в следующем смысле. Допустим, что у
еОх, где Ох-окрестность точки х. Размер окрестности Ох характеризует
близость точек х и у. Тогда Г"у е Т\ Ох = Ох + п&, откуда видно, что
близость точек Т1 у и Г"х не зависит от и. Мы выведем из этого свойства
следующий результат.
Теорема 1. Пусть Тв-эргодический сдвиг на группе М, а /-произвольная
непрерывная функция. Тогда для каждого х
Доказательство. Формула (2) для почти всех х следует из эргодичности Га и
эргодической теоремы Биркгофа- Хинчина. Взяв е>0, найдем такую
окрестность О нуля, что |/(х')-/(х")| <е/2 для произвольных х', x"eO+g,
где g- любой элемент М. Для произвольного х возьмем О + х и выберем хо е
О + х, для которой выполнено (2). Тогда
Последнее слагаемое меньше е/2 для достаточно больших
и. Точно так же |/(Г*х)-/(ГаХ0)|<е/2, КАг^я, поскольку TBx0eO + x +
ka. Таким образом, (3) меньше е при всех достаточно больших и. Теорема 1
доказана.
Следствие 1. Для любой непрерывной периодической функции / периода 1 на
R1 и для произвольного иррационального а
d
(2)
; ? f(T*x)-lf(u)d\i(u) <
п k= 1
s + i i/(r:,0)-(/(")^(") "
n n nk=l
? Л^х)-/(Г*Хо) + - ? /(r;xo)-J/(")d|i(a) . (3)
Следствие 2. Каждый сдвиг Та строго эргодичен, т. е. инвариантная мера ц
единственна.
Действительно, если ц0-эргодическая инвариантная мера, отличная от р, то
можно найти непрерывную функцию /, для которой и точку zеМ, для
которой
lim -^/(rlz) = |/rfp0> 4X0 противоречит теореме 1.
я ->оо fl
Рассмотрим сейчас один пример автоморфизма с чисто точечным спектром.
Этот пример связан с универсальностью Фейгенбаума в теории одномерных
отображений, которая будет обсуждаться позже (см. часть III).
Рассматриваются отрезок М=[-1, 1] и функция ср(х), хеМ, имеющая следующие
свойства:
В настоящее время имеется несколько доказательств существования решения
