Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
расходимость» при окончательном интегрировании по всем п переменным.
Салам показал [690] (см. также работу Вайнберга [824]), что в
перенормируемой теории поля эта вычитательная процедура на самом деле
приводит к абсолютно сходящемуся и однозначно определенному остаточному
члену 1с.
Отметим, что если интеграл 1п не содержит перекрывающихся множителей, то
его можно записать в виде
In = ( $ Л (к) dHi) ( J F* (^) --\\Fn (Q 1НпЛ . (16.78)
В этом случае можно отделить расходимости по каждой переменной отдельно
по методу Дайсона, и конечная часть (16.78) запишется в виде
П
{Fr(tr)-Dr(tr)}d4r^ , (16,79)
Г—1
§ 4. Отделение расходимостей приводимых диаграмм
589
где DT (tT) — член, который при интегрировании по tT дает истинную
расходимость.
Если в данном случае неперекрывающихся диаграмм соответствующим образом
определить истинные расходимости D и приведенные интегралы R, то из
формул (16.78) и (16.79) вытекает
71
К= У D(ti)R{tu . . . h-u ti+1, ...*„)-
i=l
n
D {tit tj) R (ti, . . . ti~i, tf±j[, . . . tj-1, tj+1, . . . tn)
ij
+ ( - i)n~xD (tu t2, ... tn) +1 с (tu h, ... tn). (16.80)
Таким образом, в отличие от формулы (16.77) члены разложения (16.80)
имеют чередующиеся положительные и отрицательные знаки.
Разложениями (16.77) и (16.80) можно теперь воспользоваться для вывода
формул (16.71), (16.72) и (16.73). После этого, если величины iS^i, D'Fi
и Гщ суть конечные физически существенные части функций S'F, Dp и Гц,
получаемые из последних путем отбрасывания расходящихся
частей операторов 2*, П* и Г^, то можно показать, что после
подходя-
щей перенормировки массы эти конечные функции будут связаны с
соответствующими бесконечными согласно
Sp (е) = Z2SF\ (е4),
Dp (е) = Z2DF^{el), (16.81)
r|i(e) = Z1-1r|il(e1),
где Zi, Z2 и Z3 — расходящиеся константы, а е4 = Zj1 Z2 Z\h е —
перенормированный заряд.
Мы не будем приводить здесь этого вывода. Он дан в статьях Салама [689,
690], в которых также содержится доказательство пере-нормируемости
мезонных теорий со связями без производных (см. также работу Такеды
[767]). Вместо этого мы будем следовать видоизмененной вычитательной
процедуре Уорда [817], при которой удается избежать построения приводимых
собственно-энергетических частей. С этой целью Уорд использует выведенное
им [816] формальное тождество, о котором будет идти речь в следующем
параграфе.
В заключение настоящего параграфа следует отметить, что при рассмотрении
приводимых собственно-энергетических частей сформулированные выше правила
Салама необходимы, чтобы правильно интерпретировать вычитания как
умножение на множители Z. Только приняв эти (однозначные) правила для
отделения расходимостей, можно доказать перенормируемость теории на пути,
намеченном Дайсоном [194]. Однако что касается практических приложений,
то правильные конечные части получаются при помощи более «наивного»
подхода, который мы продемонстрируем на примере перекрывающейся
диаграммы, изображенной на фиг, 117.
Данная диаграмма может рассматриваться как результат вставки вершинной
части Л^(р — к, р) в вершину Ь (или а) на фиг. 118. Этот оператор можно
разбить на сходящуюся и расходящуюся части по формуле (16.70):
Лц(р-А, p) = LyVL + AilC{p-k, р). (16.82)
590
Гл. 16. Количественная теория перенормировок
Если сложить выражения, построенные по диаграммам фиг. 118 и 117г то
расходящийся член Z/Yn можно убрать перенормировкой заряда в выражении,
соответствующем диаграмме фиг. 118. Иначе говоря, можно отбрасывать
расходящийся член, молчаливо подразумевая, что это эквивалентно умножению
выражения, соответствующего диаграмме более низкого порядка, на
постоянный множитель, т. е. переопределению заряда (константы связи),
стоящего общим множителем в этом выражении. Если мы теперь вставим
оператор Л^с (р — к, р) вместо уц в вершине Ъ (или а) фиг. 118, то
конечная часть оператора Е, соответствующего фиг. 117, будучи вычислена
путем вычитания расходимости по правилу (16.57), окажется тождественно
равной конечной части, получающейся по правилам Салама. Однако
расходящиеся части (если их удержать), полученные обоими способами, будут
различными. В действительности, если принять эту «наивную» методику, то
мы не смогли бы доказать перенормируемость теории, поскольку расходимости
не удалось бы интерпретировать на языке множителей Z, перенормирующих
заряд е единым образом во всех матричных элементах.
§ 5. Тождество Уорда
Если продифференцировать тождество SF (р) Sp1 (р) = 1 по рй, то после
несложного преобразования
=-SF (Р) SF (р). (16.83а)
Подставляя сюда в качестве (р) явное выражение 2л(у>р — m)t находим
SF(p)yilSF(p). (16.836)
Правая часть соотношения (16.836) содержит набор множителей,
соответствующий диаграмме фиг. 120, где импульс фотонной линии равен
нулю. Поэтому формальное дифференцирование функции распространения SF (р)
по pv- соответствует присоединению линии фотона с равным нулю импульсом к
электронной линии.
Рассмотрим далее собственно-энергетическую диаграмму W, изображенную на
