Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
логарифмической, так как не существует инвариантного 4-вектора, т. е.
постоянная Д^(0, 0) в формуле (16.107) равна нулю.] Поэтому величина
/ ЗД,, (ук, ук) n
\»(ук, ук)- Д„(0, 0 )-(yk)v ( apj’ -)fc=0 (16.107)
является конечной. Далее, следуя Уорду, произведем вычитания, делающие
конечными ядра в уравнениях (16.34) — (16.37). Решениями этих новых
уравнений будут конечные функции S'Fi, D'Fi иГ^. Таким образом, приходим
к уравнениям
1
afi (p) = SF{p)-2nSF(p) ^ dz (рм-- р'м-) {А^(рх, рх)- А^(р\ p')}S'Fi (р),
° (16.108) 1
D'fi (к) — DF (к) — 2nDF (к) ^ dy № х
о
X {Д,(Й, ук)- Д,(0, 0)-(yAv) DFl (к), (16.109)
Г,! (p., P2) = Y(i + Aa(/,i. Pz) — An(Pi, Pi), (16.110)
Операторы S'Fj, D'F\, Гщ, определяемые интегральными уравнениями (16.108)
— (16.110), будут конечными. Постоянную е в этих модифицированных
уравнениях заменим всюду другой постоянной et. Теперь покажем, что если —
подходящим образом выбранная функция постоянных е и т, тогда
модифицированные функции SFi (р, е4), Dpi (к, е4) и Гц! (pi, р2, е\)
отличаются от первоначальных расходящихся функций S'F(p,e), D'F(k,e),
(pi, р2; е) только общими множителями. Другими ловами, модификация
первоначальных интегральных уравнений (16.34) — 6.37) путем вычитания
бесконечных членов эквивалентна перенормировке
§ 6. Доказательство перенормируемости
599
заряда. Точнее говоря, мы покажем, что конечные и соответствующие
бесконечные функции, определяемые уравнениями (16.34),‘ (16.36а) и
(16.37), связаны следующим образом
Sp (р; е) = Z2 (е4) S'Fl (р; е4), (16.111)
Dp (k\ е) = Z3(e4) Dp\ (к; ei), (16.112)
Гц(Л- Рг, e) = Z\1(el)TVii(pl, р2; еД, (16.113)
где Z4, Z2, Z3 — бесконечные константы, подлежащие определению, а
е4 = Z?Z2Zpe. (16.114)
Эти соотношения, впервые выведенные Дайсоном [194], позволяют
интерпретировать вычитание бесконечных констант как выделение бесконечных
постоянных множителей.
Доказательство перенормируемости квантовой электродинамики проводится в
два этапа: первый этап состоит в выборе вычитательной процедуры (или
регуляризации) с целью сделать конечными интегралы, которые без этого
расходятся; второй этап посвящается доказательству, что это вычитание
(или регуляризация) эквивалентно перенормировке, т. е. что отбрасывание
расходящихся членов равнозначно изменению значений параметров, через
которые была записана первоначальная неперенормированная теория, например
постоянных т0 и е.
В справедливости соотношений (16.111), (16.112) и (16.113) можно
убедиться, подставляя выражения (16.111) —(16.113) для величин S'p, Dp и
Гц в первоначальную систему определяющих их уравнений:
Sp = Sp + Sp2*Sp, (16.115)
Dp = DF + DpH*D’p, (16.116)
^ = 7^+2 АДГ), (16.117)
по всем неприводимым V1
где операторы 2* и П* даются формулами (16.44) и (16.45) соответственно.
Далее, в выражении (16.46) для Гд каждый член с
коэффициентом (е2)п содержит ровно п функций Dp, 2п функций
Sp и (2п +1)
функций Г. Поэтому если в выражении для Г заменить е на е4 по формуле
(16.114), a Dp, Sp и Гд — их конечными прообразами, с которыми они
связаны соотношениями (16.111), (16.112) и (16.113), то мы получим
Лц (в, IV, Sp, D'P) = Z?Лд(е4, T^Spi, Dpi). (16.118)
Аналогично, в выражении (16.105) для Ад каждый член с коэффициентом (е2)п
содержит (2и + 1) функций Г и ^ и (я—1) функций Dp, так
что если мы снова заменим е на е4, SF на S’F4, D’p на Dpi и Гд на Гд4,
то найдем
Ад(е, Гд, SF, Dp) = Zj12'1Z2A^ (е4, Гд4, SFi,D'F\) (16.119а)
или
WV (е, IV, 'SF, Dp) = Z^Z2Z,-WU (е4, Гд4, SFi, Dpi). (16.1196)
Используя все это, соотношения (16.99) и (16.101) можно переписать в виде
1
2*(/>; е4)= - 2nZ-1 J dx(jF-p’»)^(p*, рх; е4,Г4, SFi, Dpi) (16.120) о
600
Гл. 16. Количественная теория перенормировок
П* (А; ех) = — 2ttZl1Z2Z;1 ^ dykPАд (уА, уА; Г4, D'Fi). (16.121)
о
Интегральные уравнения (16.115), (16.116) и (16.117) после подстановки в
них выражений (16.120) и (16.121) принимают вид
Z%S(ci) = Sj? — 2jTj5'р х 1
X Z^Z2 ^ dx {pv- — р») Ац (рх, рх\ еи Гь S'F и D'Fi)-S'Fl (et). (16.122)
о
Z3DFi (ci) = Dp — 2uDp x
l
X Z~1Z2 ^ dykv-A^iyk, yk\ eu I\, S'FU D'Fi)-D'Fi (е{), (16.123)
о
Z11Tlil{e1) = yli + Z11AVL(euT1, SFi,DFl). (16.124)
Эти уравнения должны тождественно совпадать с интегральными уравнениями
(16.108), (16.109) и (16.110) для конечных операторов SFi, DFl и Гщ. Обе
системы уравнений действительно совпадут, если в уравнениях (16.110) и
(16.124)
Zl(ei)yll = y[l — All(p',p';ei).. ? (16.125а)
Сопоставляя это равенство с соотношениями (16.73) и (16.94), выясняем,
что
(et) = 1 -У В (б1) = 1 -L fo). (16.1256)
Если теперь подставить это значение в уравнение (16.108), то станет
ясным, что уравнения (16.122) и (16.108) совпадают при условии, что
Z1==Z2, (16.126)
и, наконец, уравнения (16.109) и (16.123) совпадут, если
(Zs-l)Aa = ^ dyy (16.127)
или, следовательно, если
Zs = l (16.128а)
где
= (16.1286)
При получении соотношения (16.127) мы воспользовались тем, что в
соответствии с требованием ковариантности в формуле (16.109) Ац(0, 0)=0.
