Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
Несобственные части, будучи неперекрывающимися комбинациями собственных
частей, уже учтены в неявных определениях функций S'p и Dp, данных выше.
Так, легко видеть, что несобственные диаграммы, типа изображенных на фиг.
112, содержатся в определении
Sp(p, W) = Sp (/?) + Sp (р)Ъ(р, W)S'F(p, W), (16.40)
где W — фермионная собственно-энергетическая часть, изображенная на фиг.
110, а. В самом деле, если мы разрешим это уравнение относительно 1Sp, то
получим
Sp (р, W) = SP (р) = SF (р) JrsF (р) 2 (Р' w) SF (Р) +
+ SF(p)X(p, W) SF (p) 2 (p, W)Sp(p) + . . . (16.41)
Графическое представление этого выражения дано на фиг. 113.
Матричный элемент ^-матрицы будет вычислен правильно, если учесть только
вклады неприводимых диаграмм, а затем в членах, соответствующих каждой
скелетной (неприводимой) диаграмме, произвести замены (16.34) на (16.39).
Соотношения (16.34) — (16.36) являются интегральными уравнениями.
Например, соотношение (16.34) в коор-
37 с. Швебер
578
Гл. 16. Количественная теория перенормировок
динатном пространстве приняло бы вид
S'F{x — y) = SF(x — г/)+ ^ сИя' ^ й*у' SF(x — х')Ъ*{х' — y')S'F(y' — у).
(16.42)
Аналогично, соотношению (16.37) в координатном пространстве соответствует
замена
у„6(4> (х - х’) 6(4> {х' - х") -> Г„ (х - х'\ х' - х"). (16.43)
Чтобы вычислить операторы Лй, 2* и П*, необходимо выписать в явном виде
интегралы, соответствующие каждой собственно-энергетической части W и
вершинной части V. Для эффектов высоких порядков части W и V сами часто
будут приводимыми (причем W и W' всегда),
содержащими внутри себя собственно-энергетические и вершинные части.. В
этом случае снова удобно сперва исключить такие приводимые части V и W, а
затем учесть их при помощи замен (16.34) на (16.39) в интеграле,
соответствующем неприводимым частям Vh W. Именно так можно получить
интегральные уравнения для Лй, 2* и П*.
Следует, однако, отметить, что все приводимые собственно-энергетические
части исчерпываются вставками вершинных частей только в одну, а не в обе
вершины неприводимой собственно-энергетической части (см. фиг. 110); в
противном случае происходил бы переучет — одна и та же собственно-
энергетическая часть учитывалась бы более одного раза. Имея в виду это
обстоятельство, мы фактически сразу же можем записать инте—
§ 2. Перенормируемостъ квантовой электродинамики
579
тральные уравнения для 2* и П* (а — постоянная тонкой структуры):
2* (х — х')=— 2лai { d*y [ d*y'yvS'F {х — у) Гй {у - х\ у — у') D'F {у' —
х)
(16.44)
и
^П* (х — х') = 2ла\d*y \diy'Sp[yllS'F(x-y)Tv(y-x'-, у-у') S'F {у’-х)].
(16.45)
С другой стороны, Ад нельзя представить в замкнутом виде как результат
вставки величин I\,, S'F и D'F. Однако в виде разложения по степеням а
подобное представление для Гй записать можно. В импульсном пространстве
оно имеет вид [714, 217]
Гй(74, Рг) = Тц + Лв(7Ф Рг) =
= yll— 2ai rv (рй pi — k) Sp (щ — k) Гй (pt — k, p2 — k)x
X S'F (p2 — k) Tv (p2 — k, p2) D’p (k) d*k + ... (16.46)
Другими словами, для получения интегрального уравнения для Гц нужно
нарисовать все неприводимые вершинные диаграммы и произвести в каждой
вставки, соответствующие заменам SF на S'F, уц на Гф и DF на D'p. Этим
путем порождается весь ряд для Гф.
Следует оговориться, что манипуляции, которые производятся здесь с
бесконечными величинами, имеют чисто формальный смысл. При практических
применениях всегда разумно воспользоваться регуляризацией, в результате
которой все интегралы становятся конечными, хотя и зависящими от
обрезания. Величины, которые были бы конечными в отсутствие обрезания,
при этом не изменятся, в то время как, например, логарифмически
расходящиеся величины превратятся в конечные логарифмические функции от
регуляризующих масс.
Далее мы перейдем к задаче отождествления расходимостей, встречающихся в
теории, и к предписаниям по устранению их.
Вспомним, что расходящийся матричный элемент М мы называли примитивным,
если при фиксировании в нем какой угодно одной переменной интегрирования
(4-импульс) интеграл по остальным переменным сходится. Фиксирование
переменной интегрирования (4-импульса) /ф означает замену внутренней
линии связной диаграммы двумя внешними линиями. Цусть G — примитивно
расходящаяся диаграмма с Fe внешними фермионными линиями и Ве внешними
фотонными линиями; тогда, как мы уже видели в § 1, диаграмма может
расходиться, если 3/2 Fe + Ве < 5. Примитивно расходящиеся диаграммы были
ранее перечислены в § 1:
1) электронная бобственно-энергетическая часть (Fe = 2, Ве = 0);,
2) фотонная собственно-энергетическая часть (Ве = 2, Fe — 0);
3) вершинная часть (Fe = 2, Ве = 1);
4) диаграмма рассеяния света на свете (Ве = 4, Fe = 0).
Согласно теореме Фарри, треугольные диаграммы дают нулевой вклад-,.
и их рассматривать не нужно. Кроме того, как было выяснено выше,
диаграмма рассеяния света на свете благодаря калибровочной инвариант^
ности на самом деле является сходящейся.
Снова подчеркнем, что большинство диаграмм не обладает тем свойством,
