Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
кажутся «краткими, точными и понятными по меньшей мере двум лицам, одно
из которых может быть их автором».) Впервые такие обозначения были
введены в важной статье Салама [689], благодаря которой обсуждение
проблемы перенормировок приобрело более ясную и более строгую основу.
Сейчас мы кратко, не входя в детали, изложим метод Салама.
Рассмотрим н-кратный интеграл /„, соответствующий некоторой диаграмме с п
«базисными» 4-векторами импульса ti: такими, что аргументы всех функций
распространения выражаются как линейные комбинации С (и импульсов,
соответствующих внешним линиям). Различные множители Sp viDf в /„ будут
как функциями одной переменной 7,, так и функциями двух и более таких
переменных. Интеграл (16.76а) есть пример 1п при п = 2. По терминологии
Салама, интегрирование по меньшему, чем п, числу переменных при
фиксированных остальных называется субынте-грированием. Сходимость
каждого субынтеграла можно оценить подсчетом степеней tj (по которым
ведется субьтнтегрирование) в числителе и знаменателе подынтегрального
выражения. При подсчете степеней все переменные интегрирования следует
рассматривать как равноправные. Именно этим путем мы пришли к заключению,
что двойной интеграл по kik2 (16.76а) расходится линейно, так как в
числителе стоит 11-я степень импульсов к, а в знаменателе — только 10-я.
Для сходимости 1п как целого должен сходиться не только окончательный
интеграл по переменным С, • • - tni н0 и различные субынтегралы по
меньшему числу базисных переменных, т. е. по th tttj, . . ., tttj . . .
tn_t, выбираемых всеми возможными способами. Возможен случай, когда
интеграл в целом сходится (судя по результатам подсчета степеней 7г), но
некоторые субынтегралы расходятся. Тогда говорят, что этот интеграл с
виду сходящийся.
Чтобы сделать интеграл 1п сходящимся, следует вычесть из подынтегрального
выражения ряд расходящихся членов. Сперва те, которые соответствуют всем
возможным субынтегрированиям по числу переменных от 1 до (п — 1), а затем
— соответствующие окончательному интегрированию по всем п переменным.
Правила, по которым вычитаются расходящиеся члены, следующие.
Сперва фиксируются все переменные подынтегрального выражения, кроме И, и
по правилам Дайсона [используя разложение (16.47)] вычитаются
расходимости, соответствующие субынтегрированию по И- В этих вычитаемых
членах множители, не зависящие от tu оставляются неизменными, а в
множителях, содержащих ti: переменным t2, t3, . . . tn и внешним
импульсам придаются значения, соответствующие свободным частицам.
Аналогично должны быть сделаны вычитания, соответствующие
субынтегрированиям по каждой из остальных переменных интегрирования t2, .
. . tn. В новом подынтегральном выражении, полученном таким
588
Гл. 16. Количественная теория перенормировок
способом, нужно далее зафиксировать все переменные, за исключением двух
t! и t2, и вычесть расходящиеся члены, соответствующие субынтегри-рованию
по t^t2, причем при получении этих членов из нового подынтегрального
выражения множители, не содержащие и 12, следует оставить неизмененными,
а в множителях, зависящих от tu или от t2, или от обеих переменных сразу,
переменным t3, tt, . . .tn (и внешним импульсам) следует придать
значения, соответствующие свободным частицам. Аналогичные вычитания
должны быть сделаны для всех возможных остальных пар переменных t^tj.
Таким же образом вычитаются расходящиеся члены, соответствующие
субынтегрированиям по tltith, . . . t^t2 . . . tn_l, причем на каждой
стадии перед вычитанием расходящихся членов, соответствующих какому-либо
субынтегрированию, подынтегральное выражение должно быть модифицировано
путем вычитания расходящихся членов, соответствующих всем возможным
субынтегрированиям предыдущего порядка. «Истинная расходимость» при
некотором субынтегрировании может быть определена как расходящаяся часть,
которую необходимо вычесть из «модифицированного» подынтегрального
выражения (как это только что было определено), чтобы сделать этот
субынтеграл сходящимся.
После того как таким же образом произведено вычитание истинных
расходимостей, соответствующих всем субынтегрированиям вплоть до (;п —
1)-го порядка, необходимо произвести последнее вычитание, чтобы отделить
истинную расходимость, возникающую при интегрировании по всем п
переменным. Наконец, если в процессе этой цычитательной процедуры
обнаружится, что какой-либо субынтеграл с виду сходящийся, тогда
соответствующего вычитания делать не нужно.
Вся процедура в целом может быть математически выражена следующим
образом:
П
In — 2 И (ti) R (til ? ? ? 0-Ь 0+i> • • • tn) +
i~ i
n
4~ 2 D (tii tj) R (ti, . .. ti_i, ti+l, ... tj_i, tj+1, ... tn)
ii
+ . .. + D (ti, ... tn)-^Ic(t}, ... tn). (16.77)
Здесь D (ti, tj, ...) —«истинная расходимость», соответствующая
субынтегрированию по переменным tttj..., а соответствующий множитель R
называется «приведенным интегралом»; D (гь t2, ... г,г) — «истинная
