Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
{go, fa) = ^ doц (ж) gc {х) у» fa (ж), (14.67)
О
гДе go —ё- Фейнман [251] пришел к такому же точно выражению при
рассмотрении функции Грина GA (х, х'), которая связывает решения
уравнения Дирака во внешнем поле А6 в два разных момента времени. Доводы,
основанные на теории дырок, позволили ему заключить, что правильно
выбранная функция Грина должна содержать только положительные частоты при
t > t', что приводит к соотношению GA = КА. Под функцией Грина уравнения
Дирака во внешнем поле понимают решение уравнения
[гуц (д» — ieA'v’ (х)) — т] GA (ж, х') = г6(4> {х — х'). (14.68)
Если ф есть решение уравнения
№Уи {d>l — геА1]Х (х)) —- т] ср (х) = 0, (14.69)
то теорема Гаусса утверждает, что для точек ж, которые находятся внутри
объема Q, ограниченного поверхностью о:
Ф (х) = Ga (х, ж') у,*ф (x')n»(x')do(x'). (14.70)
a
При помощи уравнения (14.62) легко проверить, что функция КА
удовлетворяет дифференциальному уравнению (14.68). Далее, из-за свойств
неоднородного члена К+ н ядра К+Ае в уравнении (14.62) функция КА
содержит только положительные частоты при х0 > ж', если А" есть слабое
внешнее поле. Сказанное выше показывает, что использование ядра КА дает
интерпретацию уравнения Дирака в духе теории дырок и позволяет обойтись
без формализма теории поля в задачах о взаимодействии позитронов и
электронов с внешними нолями,
Представленная выше теория взаимодействия электронов и позитронов с
внешним полем основывалась на разложении б’-матрицы в ряд теории
возмущений (14.1). Однако для достаточно слабых не зависящих от времени
внешних полей можно дать точное формальное решение (см., например, статьи
Швингера [718, 721]). Пусть фп будут с-числовые решения уравнения Дирака
во внешнем поле:
[iyVi{d» — ieA'v'{x))— т]фп(ж) = 0, (14.71)
где индекс п характеризует полный набор коммутирующих наблюдаемых для
одной частицы. Ниже мы всегда будем предполагать, что не зависящее от
времени поле достаточно слабое, так что состояния с положи-
444
Гл. 14. Диаграммы Фейнмана
тельными и отрицательными энергиями разделены конечным интервалом. Если
это не будет так, то не будет и стабильного вакуума.
Гейзенберговский оператор фв(ж), который удовлетворяет уравнению движения
[г'Уи (дя — ieA^ (ж)) — т\ г|Г (х) = 0, (14.72)
можно разложить по функциям фп.(ж):
фе(ж) = 2 &епфп(20+ 2 йеп*фп (ж),' (14.73)
(71', Я+) <n', Е-)
где первое суммирование проводится только по функциям с положительной
энергией, а второе—только по функциям с отрицательной энергией. Из
канонических перестановочных соотношений
[фе(ж), фДжО]^*0=*'==У°б(3)(х —х') (14.74)
и свойств ортогональности решений фп (ж) следует, что операторы Ьет den,
- • ? удовлетворяют таким же перестановочным соотношениям, как и в случае
свободных полей:
[i>V 6V4.= e,"„
[bea, den']+ = [ben, den-*]+ = О И т. д.
Оператор тока дается выражением
;ец(я)= -у W’WYh, фе(ж)]> (14.76)
и в силу уравнений движения его дивергенция равна нулю. Из
перестановочных соотношений для оператора полного заряда
Q=—^ d3x [фе (х) у0, фе (ж)] (14.77)
с операторами и фе вытекает интерпретация фе как оператора уничтожения
для частицы с зарядом —ей оператора рождения для частицы с зарядом -\-е.
Гамильтониан, так же как и оператор заряда, диагоналей по операторам Ьеп
и den. Это позволяет интерпретировать операторы Ьеп и den как операторы
уничтожения отрицательно заряженной и положительно заряженной частиц
соответственно в состоянии п. Состояние вакуума |Фео) определяется как
состояние с наименьшей энергией и удовлетворяет соотношениям
den 1 Фео) = Ьеп | Фе0) = 0 для всех п. (14.78)
Если |ФД) — одноэлектронное состояние, то единственной не равной нулю
амплитудой будет
У (х) — (Фео I (я) I ФМ- (14.79)
Эта амплитуда удовлетворяет уравнению Дирака (14.71) во внешнем поле,
поскольку ему удовлетворяет оператор фв(х). Далее, используя разложение
(14.73) и соотношение (Фе01 = 0, замечаем, что ампли-
туда 1 является суперпозицией решений с положительной энергией:
х(*)= 2 (Фео|Ье„'|Фе1)Ф„',?+(;г:)- (14.80)
71', ?+
§ 2. Диаграммы Фейнмана для взаимодействующих полей
445
Функция распространения К+ приобретает наиболее простой вид, если
выразить ее через гейзенберговские операторы фе:
Ki(x, х') = (Фео, Т (фе (г)фе Ю)Фео) (14.81а)
Г 2 Фп (х) Фп (х) при х0 > х'0,
Ч Т ^ (14‘816)
- 2j Фп (х) Фп (х ) при Хо < хй.
V п', Е—
§ 2. Диаграммы Фейнмана для взаимодействующих полей
Рассмотрим теперь теорию нейтрального псевдоскалярного поля,
взаимодействующего с полем со спином, равным 1/2, посредством
псевдоскалярной связи. Плотность лагранжиана дается выражением
= _ 1 G [ф (х) ys, ф (ж)] ф (х). (14.82а)
Плотность гамильтониана в картине взаимодействия можно записать в виде
e%?i (х) = GN (ф (я) у5ф (а:)) ф (ж). (14.826)
В этом случае матричные элементы ^-матрицы в первом
порядке теории
возмущений равны нулю, поскольку энергия и импульс не могут
сохра-
няться в акте испускания и поглощения свободного мезона свободным
нуклоном. Поэтому исследуем матричный элемент второго порядка:
