Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
интегрирования xig и х20—xiq. Тогда интегрирование по z10 приведет к
множителю Т.
§ 1. Взаимодействие с внешним электромагнитным полем
441
а (0 | 5(2) | 0) — вакуумное среднее 5-матрицы во втором порядке теории
возмущений. Несвязность двух частей диаграммы на фиг. 38, б проявляется в
том, что матричный элемент (14.56) распадается на произведение двух
множителей, не содержащих общих переменных.
Аналогично в высших порядках теории возмущений мы получим однократное
рассеяние, сопровождаемое всеми возможными вакуумными процессами. Поэтому
можно записать полную амплитуду перехода из состояния р в состояние q в
виде
(Я I S | р) = (q | R | р) (0 | 5 | 0) = (q \ R \ р) е~ь, (14.58)
где (0 | S [ 0) — вакуумное среднее 5-матрицы, представляемое вакуумными
диаграммами Фейнмана, тогда как (q j R | р) представляется только
связными диаграммами процессов рассеяния, т. е. диаграммами, не
содержащими вакуумных петель. Фейнман [251] назвал величину (q j 5 j р)
абсолютной амплитудой вероятности перехода, а величину (q | R | р) —
относительной амплитудой вероятности перехода. Таким образом, для решения
задачи об электроне во внешнем поле мы должны для заданного поля
вычислить L только один раз и затем рассматривать только те матричные
элементы, которые соответствуют связным диаграммам [матрице R в выражении
(14.58)]. Тогда абсолютная вероятность данного процесса будет равна
относительной вероятности J (р J R | q) | 2, умноженной на вероятность
того, что вакуум останется вакуумом [ехр (—2Re L)].
Описанный выше в общих чертах диаграммный анализ был развит Фейнманом
[251]. В этой статье Фейнман не только дал формулировку теории дырок, в
которой значительно упрощаются все вычисления эффектов взаимодействия
электронов и позитронов с внешним электромагнитным полем, но развил новый
метод анализа теории возмущений, основанный на диаграммах. Затем Фейнман
обобщил формулировку на взаимодействия между частицами [252] и доказал
эквивалентность полученной теории стандартным формулировкам квантовой
теории поля [253]. Подход Фейнмана основывается на рассмотрении функции
распространения, которая связывает решения уравнения Дирака, относящиеся
к двум разным моментам времени. Мы здесь в краткой форме повторим
формулировку Фейнмана, отправляясь от квантованной теории поля. Однако
никакой обзор работ Фейнмана не может во всей полноте передать ясности,
простоты и изящества его оригинальных статей. Поэтому читателю необходимо
изучить эти статьи.
Относительная амплитуда того, что электрон достигнет точки х, если он
находился сначала в состоянии ф (х') J Фо), согласно предыдущим
рассмотрениям, есть
гг а г'\_ <Фо\ $(*)&(*, г')Ф(*')1Фо> !\/. r;q\
Л + (X, х ) _ ______ , ЩЧ.ОУ,
где х0 = г, х' = г', и оператор U (t, t’) имеет вид
СО it
и о = 2 (-fe-)n^r IdlXi Id*x2 • • • IdiXn X
n=0 V ’t' t'
X T {N (ф (xt) Ae (xt) ф (х^) ... N (^ (x„) Ae (x„) ф (x„))}.
(14.60)
Мы здесь игнорировали тот факт, что состояние ф (гс) | Фо) в
действительности не соответствует локализованному в точке
х электрону.
442
Гл. 14. Диаграммы Фейнмана
Эту трудность, однако, можно преодолеть, если образовать соответствующим
образом определенное скалярное произведение обеих сторон равенства
(14.5&) с локализованными амплитудами Ньютона — Вигнера. Так как к таким
скалярным произведениям можно перейти на любой стадии вычислений, то мы
нс будем больше касаться этого вопроса. Далее, равенству (14.59) можно
придать вид
со t t t
Kf(x, x')= 2 г \ diXi I diXi • ? ? \ diXn
x
n—О V V V
X (Ф01 T (4> (x) N (ф(x{) Ae (ад) ф (xt)). . .
• • .ЛЧф^) Де(2п)ф(лх))Ф(я')}|фо>с, (14.61)
где индекс С означает, что следует рассматривать только связные
диаграммы. Множители ф (х) и ф (х’) можно внести в скобки, поставив
их на указанные моста, поскольку это расположение соответствует
хронологическому порядку.
В выражение (14.61) вносят вклад связные диаграммы, изображенные на фиг.
39. Они приводят к следующему результату:
Ка (х, х') = К+ (х — х') + ie { К+ (х —? ад) Ае (хt) К+ (xi — х) dixi -f-
«а
+ (ieу ^ ^ с1*х2К+ (х — xi) Ае (xi) К+ (xi — х2) X
X Ае (х2) К+ (х2 — х) . . ., (14.62а)
= К+ (х — х') 4- ie ^ К+ (х — Xi) Ае {xi) Kf (х{, х') d^Xy.
(14.626)
При выводе уравнения (14.626) мы использовали то, что равенство (14.62а)
является разложением Неймана — Лиувилля уравнения (14.626).
Из сказанного выше, вообще говоря, следует, что если начальное
одноэлектронное состояние есть
I Ф;> — ^ Ф (*') Yu/ ix') do>l (х') t Фо), (14.63)
a (x')=t'
а конечным состоянием является
|Ф/)= ^ Ф(л:)Уц?(^)^(а:)|Ф0), (14.64)
§ 1. Взаимодействие с внешним электромагнитным полем
443
то амплитуда перехода дается выражением
Rfi = ^ (а;) ^ dav (х') g (х) УцКА (ж, ж') yvf(x'). (14.65)
а' а
Таким образом, ядро КА может рассматриваться как ядро интегрального
соотношения, распространяющего начальную амплитуду / на поверхность о':
fa (ж) = ^ do» (х') КА (х, ж') yj (X'), (14.66)
и амплитуда перехода дается скалярным произведением
