Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
волновых функций начального и конечного состояний позитрона. Далее, из
формулы (14.12) видно, что если чертить диаграммы ФейнмаНа в импульсном
представлении, придавая каждой линии определенный импульс, то при
описании позитронов зарядовосопряженными спинорами значительно проще
выбирать множители, соответствующие каждой линии и вершинам, чем при
описании позитронов дпраковскими спинорами с отрицательной энергией (фиг.
36).
В первом порядке теории возмущений амплитуду рассеяния электрона на
внешнем потенциале из состояния (Pi) | Фо) в состояние b*St(p2) |Ф0)
описывает матричный элемент
Я = ?2~Pl
Фиг. 36.
МТ =
е
he
Е (Pi) Е (р2)
N i/2 ~
J 2пiuH (р2) $. (р2 — pi) uSl (р0,
(14.13)
который соответствует диаграммам Фейнмана на фиг. 30. Если внешнее
электромагнитное поле является кулоновским полем ядра с зарядом -)-Ze
А° =
Ze
ТО
я(я)-
4я г ’
= (2^)з6 (Яо) "V0 \ <Рхе-1ч-*А0 (х) =
(14.14)
Ze 1
4я 2я2q2
6 Ы У0-
(14.15)
28 с. Шсебер
434
Гл. 14. Диаграммы Фейнмана
Следовательно, амплитуда рассеяния в этом случае будет равна Ze2 i f пг2
"NVa , ч 1
м?
4»»гтг (дм ЯМ J’“•> <*> ГЙ^ГГ.^ (Р.) в №-?.). (14.16)
где Ei = ?2 = ? — энергия электрона. Вероятность перехода определяется
квадратом модуля амплитуды перехода:
|Mlur = zwE 6 (?,-.?,) 6 (о)х
X | «„ (Рг) [рД^ (Pi) |2 . (14.17)
где а = e2/4n?ic ^ (137)-1. Множитель 6(0) должен интерпретироваться
следующим образом:
Т/2
6 (0) = lim lim -Г \ el <Ei-E^ * dt — lim Г- , (14.18)
Т-.ссЕ1-.Е. гл _«1 Т->со -л
где Т — время, в течение которого происходит взаимодействие. Отсюда
вероятность перехода в единицу времени wi -> 2 в одно избранное конечное
мЬ2 (р2) дается выражением
Wl-*2=^S (ттУ1 “Ц(Р2^ | P2-Pl |2(р‘) f & №-Я2). (14.19)
Если начальный пучок не поляризован и нас не интересует спиновое
состояние конечного электрона, то следует просуммировать j МД j2 по
конечным спиновым состояниям и усреднить по начальным. Кроме того, мы
интересуемся только вероятностью перехода в единицу времени в группу
конечных состояний с плотностью Qf = drif/dEf. Эта вероятность равна
4Z2a2 Г тп\ 2 Z drif W 1‘)tt)3 V ~R I V n n , / ъ^=
Чтобы найти плотность конечных состояний, заметим, что в подпространстве
одночастичных состояний оператор
±sv(p2 + my"i±±^yA 1______ (14 20)
(2Я)8 K^eJ {dEfjE^E, 2m У 2m Т У |р2 —Pi I4 ’ 1 >
^ drifL* (pf) IФ0) (Ф01 bs (р/)
должен быть равен единичному оператору. Другими словами, действуя на
одночастнчное состояние | Ф) = Ъ* (q) | Ф0), этот оператор должен
воспроизвести его. Отсюда dnf~d3pf и
drif pZdpdQ „ . .
ЧЁ = —Щ- = EPdQ’ (14.21)
поскольку
+ (14.22)
Используя установленные в § 5 гл. 5 свойства следов у-матриц,
легко
вычислить след в (14.20). Учитывая, что след произведения
нечетного
числа у-матриц равен нулю, и используя формулу (4.17а), получаем
i SP (ЧЧ y° Чtr У0)= i SP ^2Y° prf + ™2) =
1
2m2 ' 1
— (ZpwPio- Pi'Pi-r m2)
= 2^2(?2 + P2-Pi + m2)- (14.23)
§ 1. Взаимодействие с внешним электромагнитным полем
435
Так как внешнее поле не зависит от времени, то энергия частицы
сохраняется
Ei = Е2 = (pj + w2)1/2 = (р^ + те2)1/*, (14.24)
откуда следует, что абсолютная величина трехмерного импульса частицы
также сохраняется. Если обозначить угол рассеяния буквой 0, то
РгРг = | Pi 11 Рг j cos 0 = рг cos 0 = (?2 — те2) cos 0, (14.25)
гДе I Pi I — I Р21 = Р- Из релятивистской механики мы знаем, что
т - m2
(1_„2)^ = -Е шш (14.26)
где и —скорость частицы. Поэтому выражение (14.23) для следа может быть
переписано следующим образом:
i Sp (to? т" Ь±=У ) = ± [{(1 + cos 0) (Р - »•) + т ] =
—?[0>co»*ie+l-n*]=^(l-0*sin>ie). (14.27)
Аналогично, поскольку абсолютная величина импульса сохраняется, то
[ р2 — Pi | = 2/>sin-|-0. (14.28)
Таким образом, мы получаем следующее выражение для w:
W -- -т-4 ( 1 - V2 sin2 0( 4тг") • (14.29)
4р4sin4г/2 0 V 1 J(^)3\dbfjE^Ei
Чтобы найти дифференциальное эффективное сечение, нужно разделить
вероятность w на плотность потока падающих частиц. Плотность падающих
частиц может быть получена из плотности тока, соответствующей вектору
начального состояния электронно-нозитронной системы. Рассмотрим среднее
значение оператора тока в начальном состоянии (Pi) I Фо>, состоящем из
одного электрона с импульсом и спиновым индексом $!'.
<7а (?г)> = - (^(Р1)Фо, ^ Ж*)’ Yu.'tW] ^(РОФо) • (14.30)
Ясно, что в разложении оператора тока по операторам рождения и
уничтожения (частиц с определенным импульсом и проекцией спина) вклад в
матричный элемент (14.30) будут вносить только члены, пропорциональные
b*b, откуда
Ии(х)) = е (b*i (Pi) Ф(ь Ф<+> (х) УаФ<+> (х) ШЫ фо) =
= -(2S)s^-“iil(Pi)Y^8l(Pi) =
6 ^ 1 еищ, (14.31)
(2я)з lii (2л)3
где — скорость падающей частицы. Отсюда для плотности потока падающих
электронов получаем
Поток = ,-7^-г^ У = -ГГ . (14.32)
(2л)3 (2л)3 Ь ' >
28*
436
Гл. 14. Диаграммы Фейнмана
Следовательно, дифференциальное эффективное сечение дается выражением
da Z2 а2
dQ, /92'4®
4sin4 —
1 — н2 sin2 0 , (14.33)
что отличается от формулы Резерфорда Z2a2/4p2n2 sin4 х/2 0 множителем (1
