Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
— D2sin21/20). Этот множитель служит поправкой к формуле Резерфорда,
учитывающей спин электрона. Он и в самом деле возник из выражения для
следа. Следующий порядок теории возмущений, т. е. вклад от двойного
рассеяния, вычислили Мак-Кинли и Фешбах [524] (см. также статью Далитца
[149]). Непосредственное применение разложения теории возмущений (14.1)
на деле приводит во втором порядке (и фактически во всех высших порядках)
к расходящемуся результату, что связано с бесконечным радиусом действия
кулоновского поля. Это затруднение было разрешено Далитцем [149], который
показал, что амплитуда рассеяния в экранированном кулоновском поле
Ze
— "Кг
= (1^.34)
в нерелятивистском пределе сводится к амплитуде рассеяния в низшем
порядке (в первом порядке по Za), умноженной на фазовый множитель,
который стремится к бесконечности, как 1/Х, когда радиус экранирования
1/Х стремится к бесконечности (т. е. когда X —> 0). Расходимости в высших
порядках разложения в степенной ряд (14.1) возникают именно за счет
бесконечного вклада от этого фазового множителя.
Для описания рассеяния электронов на протонах при больших энергиях
необходимо так изменить формулу Мотта (14.33), чтобы учесть:
а) отдачу протона;
б) вклад в рассеяние, связанный с магнитным моментом протона;
в) конечные размеры распределения протонного заряда и магнитного момента;
г) радиационные поправки к упругому рассеянию, учитывающие испускание и
поглощение виртуальных фотонов, и испускание реальных фотонов,
допускаемое конечной разрешающей способностью экспери-. мента.
Эффекты «а» и «б» учтены Розенблютом [674]. Эффект конечных размеров
нуклонов выражается в том, что первую часть формулы (14.33) умножают на
форм-фактор нуклона. Форм-фактор является функцией передачи импульса j р4
— р21 и дается фурьа.-образом плотности заряда нуклона. Эффекты «г» мы
обсудим в гл. 1$. По поводу рассеяния электронов больших энергий читатель
отсылается к превосходному обзору Хофштадтера [378].
Обратимся теперь к краткому обсуждению вакуумных диаграмм. Выше мы
отмечали, что в низшем порядке теории возмущений амплитуда вероятности
вакууму остаться вакуумом при наличии внешнего поля дается интегралом
Mf = -тг ^ d^x 1 (j dix2 Sp {Де (ж4) К+ (xt — х2) Де (х2) К+ (х2 — а^)},.
(14.35)
который расходится независимо от вида внешнего поля Ае из-за совпадения
особенностей у функций К+(х1 — х2) и К+(х2 — х4) при х1 = х2. Чтобы
§ 1. Взаимодействие с внешним электромагнитным полем
437
выразить в явной форме эту расходимость, введем в равенство (14.35)
фурье-образы К я а функций К+ и Ае. Тогда
М? = ^ ^{k) №V {к) (" fc)’ (14'36)
2 (2л) где
II|AV (к) = d*q Sp {^^(^4- к) yvK+ (q)} = Tlv^ (к). (14.37)
Из требования калибровочной инвариантности вытекает инвариантность.
матричного элемента Му относительно замены а^(к) на а]1(к) + к^А (к).
Иначе говоря, если вместо а^ (к) подставить произведение 4-вектора /сд на
любую скалярную функцию от к, то матричный элемент Му должен обратиться в
нуль. Поэтому
(к) = №v/cv = 0, (14.38)
откуда следует, что №v (к) можно записать в виде
nMV (к) = (к^К - gllvk2) И (к). (14.39)
Соотношение (14.39) позволяет переписать формулу (14.36) в явно
калибровочно-инвариантном виде, выразив ее только через напряженности
ноля. Действительно, учитывая, что
(к^ку — gilvk2) аР (— к) av (к) = — \ F^y (— к) F»v (к), (14.40)
2
и подставляя это выражение в формулу (14.36), получаем
Mv = х 5 d*Xi S d4*2^iiv (*i) n (Xl - x2) F^' (x2), (14.41)
где П(ж) — фурье-образ И (к). Явное выражение функции П (х) было получено
многими авторами, и мы в гл. 15 будем заниматься этим. Здесь мы приведем
выражение для И (ж), найденное Швингером [721]:
п>^ж')=тбл2- S ** ГС1-^-)171-! О - )3/2 *•)?
. 4 т2
(14.42)
Для выделения расходящейся части функции П (ж) запишем Ар (х —
Отсюда следует
Д р(х — х'\ Jt2) =---------б<4) (ж— х')—-у ПжД р(х — х’\ к2). (14.43)
И (х - х') = Сб(" (х - х') + ? ДГ [х - х'),(14.44) где С — логарифмически
расходящаяся постоянная вида
С =
(14-45)
Ядро П' (х) приводит к сходящемуся интегралу для большинства внешних
полей, которые приходится рассматривать. В частности, оно дает конечный
вклад в матричный элемент Му) для внешнего поля, наихудшие особенности
которого имеют вид х — х0 |-(2-т) с у > 0.
Среднее значение по вакууму третьего члена разложения ^-матрицы ?<3),
соответствующее вкладу третьего порядка в амплитуду перехода
438
Гл. 14. Диаграммы Фейнмана
вакуума в вакуум под влиянием внешнего поля, дается выражением
(Ф0, (?у у ^ л, 5 \
X T{N (Ji)) N (ф#ф (x2)) TV (фДеф (x3))} Ф0^) . (14.46)
/
В этот матричный элемент внесут вклад только те нормальные произведения в
разложении Г-произведения, в которых все фермионные мно-
Ф и г. 37.
жители спарены. Имеются два таких нормальных произведения, которые
соответствуют следующим двум возможностям спаривания:
— ф- (.24) ф- (х2)ф- ’ (^г)Ф' ' (*з)Ф' ‘ ’ (х3)ф- ' • (зч) (14.47а)
И
— ф- (х,)ф- (х3) ф• • (х3)фг • (х2)ф- • • (х2)ф- • • (х4). (14.476)
