Статическая термодинамика. - Шредингер Э.
ISBN 9-7029-0340-4
Скачать (прямая ссылка):
59
При очень малом ( получаем для отношения двух интегралов:
2
j е-х д.4 ^x
OO 2
/ е~х X2 dx
о
3 2
(8.5)
о
Итак, при очень малом ( приходим (в обоих случаях) к классическому поведению (С также носит название параметра вырождения). Оба интеграла при этом очень малы, а это, согласно (8.1), означает, что
Это значит: высокие температуры, низкие плотности. Полученный результат способен в одно и то же время удовлетворить, разочаровать и удивить.
Удовлетворяет потому, что при высоких температурах и низких плотностях мы должны придти к классическому поведению (по крайней мере, в случае Бозе) для того, чтобы не вступить в противоречие со старыми, прочно установленными экспериментальными фактами.
Разочаровывает, ибо для получения заметных отклонений необходимы столь высокие плотности и столь низкие температуры, что ван-дер-ваальсовы поправки сливаются с возможными эффектами вырождения, причем перспективы возможности разделения обоих эффектов весьма сомнительны.
Удивительным является то, что «новая статистика», заменяющая единицей множитель
(который в «старой статистике» очень велик, и это ее характерная черта), приводит к тому же результату, что и старая (этого еще можно было, пожалуй, ожидать при T —» 0, когда множитель в старой теории приближается к единице).
Разрешение этого парадокса заключается в том, что этот множитель, если вычислять его, применяя классическую статистику к квантовым уровням отдельных частиц, равен не единице, а п\. В этом еще «нет беды», поскольку он постоянен (в чем заключается «беда» мы вскоре увидим). Другими словами, при высоких температурах и низких
очень велико.
П\\ ГІ21. . . ¦ ns \ . . . 60
Глава 2
плотностях квантовые ячеики столь многочисленны, что в среднем, даже в «наиболее населенных» областях, лишь ^ ^ или | (k/qqq их чис"
ла оказывается занятой. Числа ns равны либо нулю (большинство из них), либо единице, либо, в очень редких случаях, двум. В этом и заключается причина того, почему, независимо от того, исключается ли последняя возможность вовсе (Ферми-Дирак), или же ей приписывается значительный статистический вес (Бозе-Эйнштейн), ею все равно можно пренебречь. Вышеприведенное утверждение относительно чисел заполнения подкрепляется следующими рассуждениями. Напомним выражение для среднего числа заполнения ns (7.16):
Ws = --і-. (8.6)
Поскольку Cficte > 1, то для ( < 1 мы можем опустить =1=1 и получить
W8 = Ce-?a' <: С,
откуда сразу можно видеть, что Щ <С 1 при ( < 1, что доказывает наше утверждение. Более того, поскольку в «действительно наиболее
OL4
населенной» области, определяемой условием pas = —= к, 1, экспонента
rC_Z
имеет все еще порядок единицы (но не меньше), мы можем утверждать, что
W8 и с (8.7)
дает правильный порядок величины также и во всей интересующей нас области. Проверим теперь, насколько эта величина мала в действительности. (Выше я утверждал, что она составляет около ^q qqq
или юоооо')
Ответ на этот вопрос легко получить из (8.1):
Значение интеграла
= 4тг(2тку у § V^F
h3 п 4
или
3
1 (2тг ткт\ 2 V /от
с - »• (8'8) Оценка формул. Предельные случаи
61
Следует ожидать, что это число велико. Вычислим его при нормальных условиях (0°С и одна атмосфера) для гелия, наиболее легкого из одноатомных газов, взяв для удобства 1 моль:
log 2-7г
Iog тн Iogm H^
т н
log к
log 273,16
= 0,79 818 = 0,22 337- 24 = 0,60 206
= 0,14003- 16 = 2,43 642
0,20 006 - 36 0,64 226 - 53 0,55 780 + 16 0,27890+ 8 0,83 670 + 24
log h = 0,82113-27 log/і2 = 0,64 226 - 53
IogF = 4,35 054
Iogn = 23,77973
0,57081 - 20
0,83 670 + 24
5,40 751
Число 255 570
Примечание:
тн = 1,6 725 x IO"24
тне = 3,9 716
тн
к = 1,3 805 x IO"16
h = 6,6 242 x IO"27
V = 2,2 415 x IO4
п = 6,0 228 x IO23
С. G.S.°C
Следовательно, при этих условиях,
і = 255 570.
(8.9)
Заполнение будет оставаться крайне редким даже при сильном сжатии и значительно более низкой температуре [см. (8.7) и (8.8)]1. В то же
самое время, однако, можно подсчитать, что если бы сжатие до объема и охлаждение в 100 раз (т. е. до 2 + 3°К) могли быть осуществлены без сжижения, to множитель равнялся бы jqq^qqq: и мы достигли
бы области, в которой ( перестает быть «очень малым». Таким образом, область заметного вырождения газа безусловно находится в пределах
¦'¦Следует заметить, что относительная флуктуация этих небольших чисел заполнения пе ~ С исключительно велика, а именно —р ~ 500 или 50 000%.
vC 62
Глава 2
возможностей опыта, однако эти эффекты вырождения (как я уже сказал) неотделимы от ван-дер-ваальсовых поправок.
Постоянная энтропия. Уравнение (8.8) находит себе также прямое и важное практическое применение. Оно используется для вычисления так называемой постоянной энтропии или химической постоянной, или же, более конкретно, для получения формулы давления пара, рассматриваемого как идеальный газ. При этом тот факт, что уравнение дает правильный результат (тогда как классическая теория приводит к чистой бессмыслице), является прямым подтверждением новой точки зрения.
