Статическая термодинамика. - Шредингер Э.
ISBN 9-7029-0340-4
Скачать (прямая ссылка):
Ьк=Е- єі,
экспоненциально убывает с уменьшением E — єі, т.е. с уменьшением энергии, приходящейся на долю теплового резервуара. Это становится совершенно ясным в случае, когда число уровней резервуара равно, например,
п пЄі
С(Е -єі)п = CEn(l - ?а СЕпе~~Ё~ (п - очень велико).
Этот вывод не претендует на строгость (строгий вывод был дан ранее), однако он поясняет суть дела: чем большая часть общей энергии (E) приходится на долю самой системы (?i), тем меньше (Е — Єї) приходится на долю теплового резервуара. А это экспоненциальным образом уменьшает число используемых уровней теплового резервуара (даже в случае бесконечного теплового резервуара или, вернее, именно в этом случае). Характеризующий это уменьшение экспоненциальный множитель является не чем иным, как уже знакомым нам соответствующим членом статистической суммы, другими словами, относительной вероятностью нахождения нашей системы B СОСТОЯНИИ Єї условиях теплового резервуара. Глава 7 Проблема п частиц
Итак, начиная с этого момента мы можем (рассматривая гибб-совский ансамбль, N —>¦ оо) не проводить различия между методом наиболее вероятных значений и методом средних значений, ибо они привели к совершенно одинаковому результату. Более того, поскольку результат, будучи найден, может быть применен самым общим образом к любой системе, можно вообще не прибегать ни к одному из этих методов! Оглядываясь назад, мы убеждаемся в том, что можно было бы вовсе откинуть первый метод, который, так сказать, узаконивается лишь вторым методом. Единственной причиной, по которой я не отбросил первый метод, является то, что математическая его сторона, заключающаяся в сущности в двух-трех строках, несравненно более доступна обозрению; это обстоятельство играет немаловажную роль в области, представляющей столь большие трудности для понимания. Однако, несмотря на только что данное мной обещание не возвращаться к этим двум методам, все же математическая идея Дарвина-Фаулера, справляющаяся с трудностью, вносимой добавочным условием, путем образования вычета, является столь изумительной находкой, что мы воспользуемся ею вновь, на этот раз для того, чтобы оценить статистическую сумму в тех случаях, когда другие методы не позволяют преодолеть возникающие трудности. Тем не менее, я прошу читателя не смешивать эти две вещи; с общим доказательством мы уже покончили. Когда мы будем пользоваться в дальнейшем интегрированием в комплексной плоскости, то будем делать это не для того, чтобы привести пример применения общего метода, а лишь для того, чтобы воспользоваться сходным математическим приемом для оценки некоторых статистических сумм. Это обстоятельство необходимо подчеркнуть, ибо когда, после изложения общего метода, начинают многократно пользоваться тем же математическим приемом, разбирая частные примеры, то почти всегда создается впечатление, что дело идет о приложении общего метода к частному случаю!
Перейдем теперь к проблеме п частиц (простейший случай — идеальный газ). Проблема п частиц
47
Согласно современным воззрениям, газ не может рассматриваться как состоящий из п тождественных, слабо взаимодействующих систем, поскольку энергетические уровни газа не являются суммами энергетических уровней п его составляющих, взятых во всех комбинациях. Численно они, разумеется, равны им1. Однако любые два уровня в газе, отличающиеся только тем, что два (или более) из п тождественных атомов или молекул поменялись местами, должны рассматриваться как один и тот же уровень газа. Краткое размышление подскажет, что это приводит к совершенно отличной статистической сумме газа как целого.
Лежащая в основе этого физическая идея заключается в том, что частицы суть кванты энергии, лишенные индивидуальности; первым «квантовым физиком» был не Макс Планк, а Демокрит из Абдеры! Отложим несколько обсуждение физического смысла этой совершенно новой точки зрения и тех экспериментальных фактов, которые вынудили нас принять ее. Займемся сначала построением с помощью нашей общей теории новой термодинамики системы п частиц. Если обозначить через
Ct1, а2, а3, ... ,
уровни одной частицы, то определенный уровень (а не класс уровней!) Єї, системы п частиц (мы будем называть ее, для краткости, газом) задается числами
Пі, п2, Tl3, ... , Tls, ...
частиц, находящихся, соответственно, на уровнях Ct1, а2, ...,и этот уровень Єї, равен
Єї =Hia1+ п2а2 + ... + nsas + ... = ^ nsas.
(Не следует путать эту схему со схемой, приведенной ранее для величин ai и Sh — между ними существует лишь формальное сходство.)
Следовательно, статистическая сумма равна (/х = утр):
Kj.
Z = Y (7.1)
{"4
1B случае отсутствия взаимодействия между частицами. Мы рассматриваем здесь только этот случай. 48
Глава 2
Знак Y означает, что суммирование ведется по всем допустимым со-{»4
вокупностям чисел п8. Это выражение охватывает ряд различных физических случаев: теорию обычных бозе-эйнштейновских газов и тем самым теорию так называемой химической постоянной, а также теорию ферми-дираковского газа, важнейшим приложением которой является электронная теория металлов. Вычислим величину Z для всех этих случаев. Из log Z получим искомую термодинамику. Другой интересующей нас величиной является среднее значение п8. Заметим для дальнейшего, что оно всегда равно
