Симметрии и законы сохранения в физике - Шмутцер Э.
Скачать (прямая ссылка):
AW = -^ [ [ДА + Лб In Y~s\ (1.1.12)
V4
При дальнейшем преобразовании этого выражения будем основываться па (1.1.7). Применение полной вариации дает
Д^ = КІ[ДЛ + А(Д1п/і)].
Имея в виду разложение
Д In Yg = As In Yg + б In Yg
и равенство
Д. In /І= -Г. а, (1.1.13)
следующее из тензорного закона преобразования для gab> находим
AX = Yg [АЛ + Лб In Yg~ Л|а. а]. Окончательный результат имеет вид
AW = y J (AX + Xla,a)d^x. (1.1.14)
V 4
Следует иметь в виду, что в подынтегральное выражение здесь входит конструкция (1.1.10).
§ 2. Принцип Гамильтона и лагранжев формализм
В теории поля находит свое непосредственное обобщение хорошо известный из механики принцип действия Гамилътона, являющийся вариационным принципом и гласящий там, что механическое движение между двумя моментами времени протекает так, что действие принимает экстремальное значение. При этом координаты материальных точек в механике соответствуют полевым функциям системы физических полей F®, а механический параметр времени t—пространственно-временным координатам х1:
g®->-Fe, t^xa.
Непрерывные симметрии в общерел. класс, теории поля 19
Аналогично механике в теории поля уравнения движения, именуемые в этом случае уравнениями поля, тождественны уравнениям Лагранжа, вытекающим из принципа Гамильтона.
В теории поля принцип Гамильтона математически выражается в форме
Ш = -і-б J Adiiif = — j бXd^x = 0. (1.2.1)
Vi Vi
При этом все функции Fe [ха) подвергаются варьированию без изменения координат и области интегрирования, и отбирается та функциональная структура F© (х'1), при которой принимает экстремальное значение интеграл действия, функциональная структура которого Л (Fe, Fei0, хь) считается строго фиксированной *). На границе области F4, обозначаемой (F4), полевые функции должны оставаться «закрепленными»:
SFe I(F4) = 0- (1.2.2)
Поскольку варьирование, применяемое в принципе Гамильтона (1.2.1), сводится к введенному выше функциональному варьированию, для (1.1.10) применима частная форма записи
6je=-|^-6F0 + [n0a6Fe],o,
откуда при подстановке в (1.2.1) следует
б W-
= H {-^6Fe + [n0a6F0],a}^ = O. (1.2.3)
Vi
Если потребовать от дальнейших выкладок общекова-риантности, т. е. независимости от конкретного выбора системы координат, то величина
ya = -T=n0a6Fe (1.2.4)
Ve
х) В определенном смысле законы природы отражают также еще один экстремальный принцип, а именно принцип простоты самого лагранжиана как функции своих аргументов (потенциалов и напряженностей полей).— Прим. перев.
20
Глава I
должна быть тензором (вектором), что и предполагается в дальнейшем. Тогда к дивергенциальному члену в подынтегральном выражении в (1.2.3) применима ковариантная форма теоремы Гаусса
Здесь тензорный элемент гиперповерхности dfa следующим образом определяется через дуальный ему элемент внутренней ориентации dViih:
Псевдотензор Леви-Чивитых) гацъ. связан с символом Леви-Чивиты Aaijh соотношением
Вследствие (1.2.2) интеграл по гиперповерхности в (1.2.5) обращается в нуль, и принцип Гамильтона записывается в виде
Необходимым условием равенства нулю этого интеграла является выполнение уравнений Лагранжа
играющих роль уравнений поля.
Интересно отметить, что добавление к функции Лагранжа члена, имеющего вид обычной частной дивергенции,
1J Термин «псевдотензор» перегружен разными СМЫСЛОВЫМИ оттенками; может быть, лучше было бы говорить «аксиальный тензор» (хотя для тензора валентности 0, если добавить к ней аксиальные свойства, и общепринято обозначение «псевдоскаляр»!). Тогда символ Леви-Чивиты был бы плотностью [веса (—1)] аксиального тензора. Хороший (хотя и несколько сухой) обзор тензорного аппарата с учетом «псевдотензора» Леви-Чивиты с изложением теорем типа Гаусса и дифференциальных операций читатель найдет в книге Я. А. Схоутена [18].— Прим. перев.
dfa = ZaiikdVijh.
(1.2.6)
^aijh — §Aaiih•
Непрерывные симметрии в общерел. класс, теории поля 21
не меняет уравнений поля, если фигурирующая в равенстве
X (Fe, F0, a, xb) = X (F0, Fe, хь) - Qa, „ (1.2.8)
величина Qa обладает функциональной структурой:
?2“ = Q“ (F0, Fe, ь, Xе).
Действительно, непосредственное вычисление показывает, что имеет место тождество *)
^f- = O, (1.2.9)
из которого следует
Ыё ьх п S7e - SF0
§ 3. Теорема Нётер
Мы отойдем здесь от первоначальной формы, в которой Нётер [1] рассматривала эту теорему с точки зрения абстрактной теории групп, и специально приспособим ее математическое выражение к потребностям физики.
Понятие, которое лежит в основании теории, развитой Нётер,— это понятие преобразования симметрии. Мы будем понимать под ним такое преобразование (вообще говоря, и преобразование координат и функциональное преобразование), относительно которого данная лагранже-ва плотность Л обладает свойством
Л (Fe-, Fe', a-,Xb') Vl = Л (Fe, Fe, а, Хь) Vg-Oa. а, (1.3.1)
где 0я — векторная плотность веса 1, обладающая функциональной структурой
0a = 0a (F0, F0, хь).
