Симметрии и законы сохранения в физике - Шмутцер Э.
Скачать (прямая ссылка):
На выражение (1.6.37) уже в 1915 г. опирался Эйнштейн, хотя он и работал в специальной системе координат, так что не получил выражения (1.6.29) в приведенном ,здесь общем виде. Эйнштейн исходил из соотношения
(1.6.8), в котором ему удалось с помощью своих уравнений гравитационного поля привести второй член слева к требуемому виду.
Однако уже введение в общей теории относительности комплекса момента импульса оказывается весьма затруднительным. Разумным образом можно опереться лишь на соотношение (1.6.16), которое с помощью (1.6.15) и (1.6.20) удается привести к виду
((KaB)St V - Tta), ь = 0. (1.6.39)
Преобразуя это равенство, можно получить
^(кан)(?-/5^а_ojp*obl_________Iba^ ^ __
= (KaH)?sb(xVs. ь-xlgas, b) + Tsblga8, b-Tsbagls, ъ- (1.6.40)
Мы предприняли такое преобразование, хотя тем самым и отошли от вида дифференциального закона сохранения (1.6.39), но дело в том, что полученное соотношение в случае частной теории относительности переходит в хорошо известный закон сохранения момента импульса и центра масс.
В связи с этим хотелось бы указать на то, что многие авторы при анализе сохранения энергии-импульса основываются на соотношениях
Tmn-п = 0 и Tmn = Tnm, (1.6.41)
следующих из уравнений Эйнштейна, обходя тем самым
Непрерывные симметрии в общерел. класс, теории поля 39
теорему Нётер. Из двух последних соотношений тогда следует
(ImTmnVg),»=Vs (ImTmn); п=X^- (gm; n+In. т) Tmn.
Если же потребовать, чтобы вектор Em удовлетворял уравнениям Киллинга
Em; n + En; т — 0) (1.6.42)
то мы приходим к дифференциальному закону сохранения
(Em^mnKi)in = O, (1.6.43)
весьма многозначительному, так как в нем фигурирует вектор (тензор ранга 1), что особенно удобно при ковари-антной формулировке интегрального закона сохранения. Тогда вопрос о том, при каких условиях существуют интегральные сохраняющиеся величины для энергии и импульса, сводится к отысканию в данном пространстве-времени существующих там полей векторов Киллинга. Поскольку из уравнения
Ajggmn — Em; п En; т = 0
следует, что дифференциал Ли для метрического тензора обращается в нуль, что выражает существование изометрических преобразований координат, или так называемой подвижности пространства-времени, удовлетворение уравнений Киллинга соответствует наличию симметрии пространства-времени. Иными словами, интегральные сохраняющиеся величины могут быть выражены ковариантным образом, если пространство-время обладает определенными симметриями.
Если след тензора энергии-импульса равенТнулю (Ттт = 0), то условие (1.6.42) можно ослабить, придав ему вид 1J
Em; п En; т ~ ^gmnt
Некоторые авторы в отличие от (1.6.38) принимают в общей теории относительности определение величин
х) Вектор, удовлетворяющий такому уравнению, называется конформно-киллинговым. Cm. соответствующую теорию, например, в работе [19], стр. 59.— Прим. перев.
40
Глава I
типа энергии-импульса, для которого справедливо уравнение вида
(?mn + tmn,),n = 0. (1.6.44)
Однако ввиду того, что теорема Нётер приводит к закону (1.6.38), а также из физических соображений, к которым мы вернемся в следующем параграфе, мы отдадим предпочтение уравнению вида (1.6.38).
§ 7. Интегральные законы сохранения
Исследуем в общем виде вопрос о том, при каких условиях можно перейти от дифференциального закона сохранения в форме
Zmm = O, (1.7.1)
где пока не делается никаких предположений о трансформационных свойствах величины Jm, к интегральному закону сохранения.
V3 (пространстбеннопододная)
Фиг. 1.
Для этого проинтегрируем последнее равенство HO изображенной на фиг. 1 четырехмерной области, грани которой не делят ее на изолированные части, и попытаемся перейти к интегралу по этим гиперповерхностям (если же область «разрезана» на части гиперповерхностями граней, то аналогичное рассуждение применимо к каждой из получаемых частей). В дальнейшем мы рассмотрим два основных случая:
Непрерывные симметрии в общерел. класс, теории поля 41
Случай А (сохранение величин типа заряда)
Пусть величина Jm — векторная плотность, так что можно принять
Jm = Г Vg-
Тогда равенству (1.7.1) можно придать явно ковариант-ный вид:
Г; „ = О™ VI) ш = 0. (1.7.2)
В этом случае мы можем применить теорему Гаусса в кова-риантном виде, ие привязывая результат к какой-либо определенной системе координат:
j ^ifmVg),md^f = j r;md«'f = i j jmdfm =
V4 V4 (Y4)
= i j j jmdfm+i j jm dfm = 0. (1.7.3)
y„ Уз ОХВЭТЫВ.
гнперпов
Использованные здесь обозначения подробно разъяснены в § 2. Будем теперь неограниченно увеличивать величину двух пространственноподобных граней, расширяя в этих направлениях нашу область. Если интеграл по временноподобной охватывающей гиперповерхности стремится к нулю
j Г dfm = о, (1.7.4)
охватыв.
гиперпов
что практически всегда имеет место в физических задачах с островным распределением величины ]т, когда пространственноподобные обкладки близки друг к другу, то остается лишь уравнение
Г dfm= \ Г dfm. (1.7.5)
