Симметрии и законы сохранения в физике - Шмутцер Э.
Скачать (прямая ссылка):
7з
Оно выражает интегральный закон сохранения рассматриваемой величины типа заряда.
42
Глава I
Если распределение материи не является островным, то решающее значение приобретает топологическая сторона вопроса. Тогда приходится проводить рассуждения отдельно для каждого конкретного случая.
Обозначим интегральную сохраняющуюся величину, не зависящую от конкретного выбора трехмерной пространственноподобной области F3, через
Q = (1-7.6)
V3
где интеграл (1.7.5) мы снабдили множителем, смысл которого станет ясен позднее. Эта величина не зависит от случайного выбора трехмерной области интегрирования лишь вследствие справедливости равенства (1.7.5).
Если пространственноподобную область F3 отождествить с гиперповерхностью Xі = const, то при ориентации векторов, на которые натягивается трехмерное подпространство, вдоль координатных линий из определения
(1.2.6) получим
dfi= і Vgdx1Clzi dx3 = і Vgda)x, dfa = 0. (1.7.7)
Аналогично для гиперплоскостей х1, х2, х3 = const получим элементы вида
dfa — і V — gu dxx do a, dfi = 0, (1.7.8)
где
da‘-iv4:A^dV‘’ (i'7'9)
— элемент двумерной поверхности, который при преобразованиях в рамках данной системы отсчета ведет себя как тензор [3].
При этих предположениях
Q = T \ JiVgd^x. (1.7.10)
XL = COIlSt
Сразу видно, что величина Q в этой форме имеет привычную структуру сохраняющихся величин, а именно является интегралом от некоторой плотности по объему. Поэтому
Непрерывные симметрии в общерел. класс, теории поля 43
выражение (1.7.6)'можно с полным основанием считать ее релятивистским обобщением.
Проанализируем теперь уравнение, определяющее изменение (баланс) рассматриваемой величины в некоторой конечной трехмерной пространственной области. Чтобы упростить математическое описание задачи, выберем координаты таким образом, что
V3 задается как Xi = Xiw,
V3 задается как Xі = Xi
M задается как X1 = X1w,
M задается как X1 = X1 ^ и т. д.
Тогда теорема Гаусса (1.7.3) перепишется в виде
J lmdfm+ J imdfm +
xl=xl(-), *!(+) X2=X2C--), я2(+)
+ J Г d/m+ j Г d/m= 0.
Х3=Х3(_), ЗСЗ(+) х4=х4(_), Х*(+)
G учетом формул (1.7.7) и (1.7.8) получаем отсюда
J Mi+ J Fdf2 +
ЖІ=0СІ(_), ж1(+) х2=х2(~), Ж2(+>
+ j i3df3+ j Pdfi = O
X3=X3C-.), X3C+) я4=х4(_ь х4(+)
или, вспоминая, что строчные греческие индексы пробегают значения от 1 до 3,
j dxi j У — g44 dOp +
Xa=XGi--), Ха( + )
+ j JiVgdmX = 0.
Х4=Х4(_), х4(+)
Рассматривая четырехмерную область интегрирования, соответствующую фиг. 1, для которой гиперплоскости
44
Глава I
Xі = Z4(4) и Ж4 = Ж4(_) бесконечно близки друг к другу, получаем вместо последнего уравнения
j j* Vgd^x= - j fV~=Tiltdoa (1.7.И)
»4=const (Уз)
уравнение баланса исследуемой величины. При обращении в нуль правой части этого уравнения (с учетом взаимно обратных ориентаций интегрирования) вместо уравнения баланса мы получаем закон сохранения
который имеет место, если в пространственно ограниченной области количество втекающей величины равно количеству вытекающей или в пространственно бесконечной области трехмерная плотность тока убывает на бесконечности быстрее, чем растет величина охватывающей область поверхности. После этого четырехмерного перехода от дифференциального к интегральному закону сохранения поучительно рассмотреть, как проводится такая же процедура в трехмерном варианте. При этом целесообразно исходить из равенства (1.7.2), придав ему предварительно вид
(f v~g), ,+і (Z4Ki) = O.
Умножая это равенство на d(3)x = dx1 dx2 dxz и интегрируя по заданной пространственной области Xі = const, получаем
g?j j j*Vgd<»>X= - j (fVg),^X. (1.7.13)
*4=const a:4=const
В рассматриваемом пока случае А, когда jm — 4-вектор, величина jm Vg преобразуется при чисто пространственных преобразованиях координат как трехмерная векторная плотность. Поэтому в правой части полученного равенства можно ковариантным образом (независимо от выбора координат) применить теорему Гаусса и перейти от интеграла по объему к интегралу по ограничивающей этот объем поверхности. Если при этом принять сделанные
Непрерывные симметрии в общерел. класс, теории поля 45
выше предположения, то поверхностный интеграл обратится в нуль, и мы придем к формулировке интегрального закона сохранения в виде (1.7.12).
Случай Б (сохранение энергии-импульса)
В этом случае величина J..m не является плотностью тензора первого ранга. Собственно говоря, мы имеем теперь в виду уравнение (1.6.38) как выражение дифференциального закона сохранения (1.7.1), так что полагаем
j т __(полн)с?- т
Таким образом, исходным пунктом нашего анализа теперь является локальный закон сохранения энергии-импульса
(полн)^™ т = 0. (1.7.14)
В отличие от случая А при интегрировании по четырехмерной области, изображенной на фиг. 1, мы не можем здесь, вообще говоря, ковариантно (т. е. в произвольной системе координат) применить теорему Гаусса. Поэтому преобразование, проделанное в (1.7.3), невозможно, и следует выяснить, при каких условиях интегралу по 4-объеыу
