Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
ед БД. Наконец, для со = (а1( ..., ап) положим р (со) = р1(а{).. .рп{ап)
и определим Р (Л) для множеств А = В1хВ2Х.. .ХВ" формулой:
Р(Л)= 2 /л(Д)-.-РяОя).
{а1еВ1 ап^Вп}
Нетрудно проверить, что Р (Q) = I и, следовательно, тройка (Q, аФ, Р)
определяет некоторое вероятностное пространство. Это пространство
называют прямым произведением вероятностных пространств (Qlt е%, Рг),
..., (Q", ДД, Р").
Отметим одно легко проверяемое свойство прямого произведения
вероятностных пространств: относительно вероятности. Р события
Ах = {со: at е= В, Ап = {со: ап е Вп},
42
ГЛ. I. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
где являются независимыми. Точно так же алгебры
множеств пространства Q
= {А1' Л3 - {со: оу ен В3},
п - {Ап'. Ап = {со: цл<=В,г},
являются независимыми.
Из приведенных конструкций видно, что схема Бернулли
(Q, оЛ, Р) с Q = {со: со = (??!, ап), щ = 0, 1},
&? = {А\ A s П} и р (со) = p~a'qn~?ai
может быть получена как прямое произведение вероятностных пространств
(Q,-, &ju Р,), г == 1, 2, п, где
?2; = {0, 1}, ^ = {{0}, {1}, (c), Q(c)
Р,-({1}) = р, Рг ({0}) = q,
7. Задачи.
1. Привести примеры, показывающие, что, вообще говоря, равенства
Р(В!Л) + Р(б: Л) = 1,
P (В I А) + Р (В i А) = !
неверны.
2. Урна содержит М шаров, из которых Mt шаров белого цЕета.
Рассматривается выбор объема п. Пусть By -событие, состоящее в том, что
извлеченный на j-м шаге шар имел белый цвет, а Л* -событие, состоящее в
том, что в выборке объема п имеется в точности к белых шаров. Показать,
что как для выбора с возвращением так п для выбора без возвращения
Р Ф/! Ак) = к/п.
3. Пусть Л3, Лл - независимые события. Тогда
Pi U лп=1-пр(Д,-).
\! = 1 /' ( = i
4. Пусть Л3, ..., Л" -независимые события с Р(Л,) = р;. Тогда вероятность
Р0 того, что ни одио из этих событий не произойдет, определяется формулой
Ро = П 1 = 1
5. Пусть Л и В - независимые события. В терминах Р (Л) и Р (В) выразить
вероятности событий, состоящих в том, что про-
§ 4. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ
43
изойдет в точности k, по меньшей мере k и самое большее k из событий А и
В (k = 0, I, 2).
6. Пусть событие А таково, что оно не зависит от самого себя, т. е. А и А
независимы. Показать, что тогда Р (Л) равно О или 1.
7. Пусть событие А таково, что Р {А) равно 0 или 1. Показать, что А и
любое событие В независимы.
8. Рассматривается электрическая схема, изображенная на рис. 4s
Каждое из реле А, В, С, D и Е, работающих независимо, открывается и
закрывается с вероятностями р и q соответственно. Спрашивается, какова
вероятность того, что сигнал, поданный на "вход", будет получен на
"выходе"? Какова условная вероятность того, что реле Е было открыто, если
на "выходе" был получен сигнал?
§ 4. Случайные величины и их характеристики
1. Пусть (Q, , Р) - вероятностная модель некоторого экс-
перимента с конечным числом исходов, N (Q)<Coo, и алгеброй е*К всех
подмножеств Q. Можно заметить, что в рассмотренных выше примерах,
связанных с подсчетом тех или иных вероятностей событий А е о/1,
собственно природа пространства элементарных событий П.не представляла
интереса. Основной интерес представляли лишь некоторые числовые
характеристики, значения которых зависели от элементарных событий. Так,
мы интересовались вопросами о том, какова вероятность определенного числа
успехов в серии из п испытаний, каково распределение вероятностей числа
дробинок по ячейкам и т. п.
Вводимое сейчас (и далее -в более общем виде) понятие случайной величины
призвано определить величины, подлежащие "измерению" в случайных
экспериментах.
Определение 1. Всякая числовая функция ? = ?(ы), определенная на
(конечном) пространстве элементарных событий П, будет называться
(простой) случайной величиной. (Происхождение термина "простая" случайная
величина станет понятным после введения общего понятия случайной величины
в § 4 гл. II.)
44
ГЛ. I. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Пример 1. В модели двукратного подбрасывания монеты с пространством
исходов П = (ГГ, ГР, РГ, РР} определим случайную величину ? = ?(со) с
помощью таблицы
СО гг ГР РГ РР
? (">) 2 1 1 0
Здесь I (со) по своему смыслу есть не что иное, как число "гербов",
отвечающих исходу со.
Другим простейшим примером случайной величины ? является индикатор (иначе
- характеристическая функция) некоторого множества А EE Q/1
1 = 1 А (").
где *)
( 1, со ев А,
1а (СО) = \0, со фА.
Когда экспериментатор имеет дело со случайными величинами, описывающими
те или иные показания, то основной вопрос, ко-
торый его интересует, - это вопрос о том, с какими вероятностями эта
случайная величина принимает те или иные значения. С этой точки зрения
интерес представляет не распределение вероятностей Р на (Q, е'К), а
распределение вероятностей на множестве значений случайной величины.
Поскольку в рассматриваемом сейчас случае Q состоит из конечного числа
точек, то множество значений X случайной величины ? также конечно. Пусть
X = {xL, .... хт|, где (различными) числами х1, ..., хт исчерпываются все
