Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
принципу. Имеется М билетов, занумерованных числами 1, 2, ..., М, из
которых п билетов с номерами 1, 2, ..., п являются выигрышными (Mag;2л).
Вы искупаете п билетов, и спрашивается, какова вероятность (обозначим ее
Р) того, что по крайней мере один билет будет выигрышным?
Поскольку порядок, в котором извлекаются билеты, не играет роли с точки
зрения наличия или отсутствия в купленном наборе выигрышных билетов, то
следует считать, что пространство элементарных событий имеет следующую
структуру:
П = { CO.* (О ~ [@ii • • ¦ 1 @n]i @1 @2 " 1" • • • г ^1} ¦
Согласно табл. 1 N (Q) = См- Пусть теперь Л0 = {со. со - • •., @/i~\i
@1 @2 @ni cii ~ и ~1 1, •. •, еЛ[
- событие, состоящее в том, что среди купленных билетов нет
26 ГЛ. I. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
выигрышных. Опять-таки, согласно табл. 1, N (А0) = См-п- Поэтому С м-п (М
- п)п /, п\
Р(А0) = -^~ = --------------- = 1-------1 ... 1---
спм М(п) \ м!\ М-1/ \ М-п + \)
и, значит,
п
Р=1-Р(Л0)=1-1-^ 1- " ... 1
М }у М-1 ]'"[ М-п+1]'
Если А4=п2 и п-*- со, то Р (Л0)е-1 и
1 0,632,
где сходимость довольно быстрая: уже при п = 10 вероятность Р = 0,670.
6. Задачи.
1. Установите справедливость следующих свойств операций U и ГУ
A U В = В U А, АВ = В А (коммутативность),
A U (В U С) = (A (J В) (J С, А(ВС) = (АВ)С (ассоциативность),
А (В U С) = АВ U AC, A U (ВС) = [A U В) (Л (J С) (дистрибутивность),
А[]А = А, А А -А (идемпотентность).
Показать также, что
А\)В = А[\В, АВ = А\]В.
2. Пусть множество Q состоит из N элементов. Показать, что сбщее число
d(N) различных разбиений множества П определяется формулой
d(N) = e~i У 4- (12)
к\ л = о
(Указание. Доказать, что
//-I
d(N)= 2 CkN-id(k), где d(0) = l,
k=0
и затем проверить, что ряды в (12) удовлетворяют этим рекуррентным
соотношениям.)
3. Для любой конечной системы множеств А1} ..., Ап
Р {А1 U... U А") -Д Р (Аг) + ... + Р (Ап).
4. Пусть А и В - два события. Показать, что АВ\}ВА есть событие,
состоящее в том, что произойдет в точности одно из
§ 2. НЕКОТОРЫЕ КЛАССИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ 27
событий А или В. При этом
Р (АВ (JBA) = P (А) + Р (В) - 2Р (АВ).
5. Пусть Л1( ..., Л,- события и величины S0, Sx, S"
определены следующим образом: 50=1,
Sr=2P(,4Ain...fVW), 1
Jr
где суммирование распространяется по неупорядоченным подмножествам Jr -
[k1} kr] множества {1, п).
Пусть Вт - событие, состоящее в том, что одновременно произойдет в
точности т событий из Л1; Ап. Показать, что
Р(Вт)= 2 (-i)r~mc?sr.
Г -!П
В частности, для т = О
Р(?0) = 1 -51 + 52-...±5".
Показать также, что вероятность того, что одновременно произойдет по
крайней мере гп событий из Аи А", равна
Р (Вт) +.. • + Р (Ва) = 2 (-1 )r~mC?l\Sr..
г =т
В частности, вероятность того, что произойдет по крайней мере одно из
событий Лц ..., Л" равна
Р (Вв +... + р (Вп\= S, - S, +... ± s".
§ 2. Некоторые классические модели и распределения
1. Биномиальное распределение. Предположим, что монета подбрасывается
п раз и результат наблюдений записывается в виде упорядоченного набора
(ау, ап), где яг = 1 в случае появления "герба" ("успех") и аг = 0 в
случае появления "решетки" ("неуспех"). Пространство всех исходов имеет
следующую структуру:
Q = {со: со = (аи а"), а,-= 0, 1}.
Припишем каждому элементарному событию со = (а1, а")
вероятность
где неотрицательные числа р и q таковы, что р + р=1. Прежде всего
покажем, что этот способ задания "весов" р (со) действи-
28 ГЛ. I. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
тельно является корректным. Для этого нам достаточно проверить, что 2]
P(t0) = l-
to е Q
Рассмотрим все те исходы о) = (а1............ а"), для которых
= где к - О, 1, п. Согласно табл. 4 (размещение k
i
неразличимых "единиц" по п местам) число таких исходов равно С п. Поэтому
П
2 Р И = .S Cknpkqn-h = (р + q)n = 1.
k -О
Итак, пространство Q вместе с системой оЛ всех его подмножеств и
вероятностями Р(Л) = ^ р(со), 4ев/, определяет
а>еЛ
некоторую вероятностную модель. Естественно ее назвать вероятностной
моделью, описывающей n-кратное подбрасывание монеты.
В случае п= 1, когда пространство элементарных исходов состоит лишь из
двух точек со = 1 ("успех") и со = 0 ("неуспех") вероятность р (1) = р
естественно назвать вероятностью "успеха". Далее мы увидим, что
рассматриваемая нами вероятностная модель, описывающая "-кратное
подбрасывание монеты, может быть получена как результат п "независимых"
испытаний с вероятностью "успеха", на каждом шаге разной р.
Введем в рассмотрение события
Л* = {ю: о> = К а"), aL + ... + an = k\,
к = 0, 1
означающие, что произойдет в точности к "успехов". Из сказанного выше
следует, что
P(4*)=C*pV-*, (1)
П
причем 2]Р(Л*) = 1.
k = o
Набор вероятностей (Р(Л0), ..., Р (Ап)) называется биномиальным
распределением (числа "успехов" в выборке объема п). Это распределение
играет исключительно важную роль в теории вероятностей, возникая в самых
разнообразных вероятностных моделях. Обозначим Рп (к) = Р (Ak), к = 0, 1,
..., п. На рис. I
воспроизведены биномиальные распределения для случая р = ~^~
